Потенциал скорости. Потенциальное движение жидкости

Область, занятую движущейся жидкостью, можно себе представить как векторное поле скоростей (см. рис. 2-7, а). Рассмотрим частный случай дви­жения жидкости, когда это векторное поле является потенциальным, т. е. таким, которое может быть описано некоторой функцией (x, у, z), обладающей следующим свойством (см. конец § 2-4):

(3-21)

Дифференцируя первое из этих уравнений по у и второе по х, получаем:

(3-22)

вычитая теперь из второго равенства (3-22) первое равенство (3-22), имеем:

(3-23)

Рассуждая аналогично, можем показать, что имеют место также равен­ства:

(3-24)

Подставляя выражения (3-23) и (3-24) в уравнения (3-20), получаем

x = Ωy = Ωz = 0, (3-25)

Отсюда можно сделать следующий вывод: если рассматриваемое поле скоростей имеет потенциальную функцию (потенциал скорости ), т. е. является потенциальным, то средние угловые скорости О. вращения частиц жидкости относительно своих мгновенных осей должны равняться нулю, и мы будем иметь безвихревое движение.

Следует запомнить, что потенциальное движение всегда является безвихревым.

Можно показать, что и наоборот: безвихревое движение жидкости всегда является потенциальным.

Все существующие формы движения жидкости можно разбить на д в а вида:

а) движения безвихревые (потенциальные), обладающие потенциалом
скорости
;

б) движения вихревые, для которых функция , поясненная выше, не
существует.

В случае потенциального (безвихревого) потока жидкости при­ходится отыскивать одну функцию , удовлетворяющую соответствующим граничным и начальным условиям и выражающую согласно (3-21) компоненты скорости их, иу, иz.

В случае же вихревого движения задача должна состоять, вообще го­воря, в отыскании трех функций, которые должны зависеть от координат и времени, удовлетворять соответствующим граничным и начальным усло­виям и выражать соответственно компоненты скорости их, иу, иz.

Отсюда видно, что исследование безвихревого (потенциального) потока является задачей значительно более простой, чем исследование вихревого потока.

В случае простейших потенциальных потоков функция отыскивается иногда достаточно просто. Например, предположим, что нам задано движение, характеризуемое условием:

их = и0 = const; иy = 0; иz= 0.

Для такого движения траектории частиц жидкости представляют собой прямые линии, параллельные оси х, а поверхности равного потенциала ( = const) — плоскости, параллель­ные координатной плоскости уОz. В данном случае величина

Действительно, дифференцируя это соотношение по координатам, получаем приведенные выше величины их, иу, иz.

В более сложных случаях потенциального движения для отыскания приходится поль­зоваться особыми методами (изучаемыми в курсах математики). Иногда может быть использован так называемый метод сложения («наложения» — суперпозиции) потенциальных потоков. Он заключается в следующем.

Положим, что нам известно несколько потенциальных функций: 1, 2, 3, . . ., n. каждая из которых дает вполне определенный потенциальный поток.

Возьмем алгебраическую сумму указанных функций:

(3-25’)

Можно доказать, что функция будет давать новый потенциальный поток (доказательства здесь не приводим). Такой поток будет более сложным. Например, составляющая их скорости этого потока будет

где , , , . . . ., — составляющие их скорости для указанных простейших потоков, найденные в соответствующей точке.

Из сказанного заключаем, что новый поток, описываемый функцией , характеризуется следующим: скорость в любой точке такого потока равна геометрической сумме соответствующих скоростей простейших потоков:

где . — векторы скорости простейших потоков, найденные для рассматриваемой точки заданной области.

Если мы имеем сложный поток, то, как ясно из сказанного, для отыскания ф можно иногда поступить следующим образом. Разложить скорости и сложного потока на составляющие их (и1, и2, и3, . . ,). Рассматривая затем отдельно поле скоростей и1, и2, и3, . . , можем найти для каждого простейшего поля свою потенциальную функцию ( 1, 2, 3, . . ,) Наконец, по формуле (3-25') вычислить искомую функцию .

 








Дата добавления: 2015-12-29; просмотров: 2093;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.