ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОКОЯ (РАВНОВЕСИЯ) ЖИДКОСТИ
Рассмотрим покоящуюся жидкость (рис. 2-5), на которую действует та или иная внешняя объемная сила (не обязательно сила тяжести). В § 1-6 через мы обозначили объемную силу, действующую на единицу массы рассматриваемой жидкости. Обозначим теперь через , , проекции силы на оси Ox, Оу, Oz.
В общем случае давление р в разных точках покоящейся жидкости будет различным:
p=ƒ(x, y, z), (2-8)
Для того чтобы установить связь между давлением р и координатами точек, а также величиной , поступаем следующим образом.
Рис. 2-5. К выводу уравнений (2-14). На жидкость действуют любые объемные силы
Наметив оси координат Ох и Oz, выделяем элементарный объем покоящейся жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда 1 - 2 - 3 - 4; стороны параллелепипеда dx и dz, а также dy (перпендикулярную к плоскости чертежа) считаем бесконечно малыми.
В центре параллелепипеда намечаем точку А с координатами х, у и z. Давление в этой точке обозначаем через р. Проведя через точку А линию MN, параллельную оси Ох, можем утверждать, что в общем случае гидростатическое давление будет непрерывно изменяться вдоль этой линии. Изменение гидростатического давления, приходящееся на единицу длины линии MN, может быть представлено частной производной .
Используя , выразим давления в точках М и N в виде
pM= p - dx ;
pN=p + dx . (2-9)
где второе слагаемое правых частей равенств (2-9) выражает изменение давления р на длине dx.
Далее рассуждаем следующим образом:
а) выясняем все силы, действующие на элементарный параллелепипед;
б) эти силы проектируем на ось Ох; поскольку рассматриваемый параллелепипед находится в покое, то сумму проекций найденных сил приравниваем нулю, в результате получаем 1-е дифференциальное уравнение;
в) для получения 2-го и 3-го дифференциальных уравнений проектируем все силы, действующие на параллелепипед, соответственно на оси Оу и Oz.
Идя по указанному пути, даем вывод только 1-го дифференциального уравнения.
1. Силы, действующие на параллелепипед 1 - 2 - 3 - 4:
а) объемная сила равна
, (2-10)
где (dxdydz) - масса жидкости, образующей параллелепипед 1 - 2 - 3 - 4; проекция этой силы на Ох равна
; (2-11)
б) поверхностные силы: проекция на ось Ох разности сил давления на грани 1 - 4 и 2 - 3 равна нулю; проекция на Ох разности сил давления на грани 1 - 2 и 3 - 4 равна:
PM - PN = pM(dzdy) – pN(dzdy) = (p - dx )dydz – (p+ dx )dydz = - dxdydz.(2-12)
Как видно, полученная разность поверхностных сил является величиной 3-го порядка малости, так же как и величина объемных сил, выраженная формулой (2-11).
2. Сумма проекций всех сил на ось Ох равна
- (dxdydz) = 0. (2-13)
Так выглядит первое уравнение; остальные два пишем по аналогии с первым. Найденные три дифференциальных уравнения (отнесенные к единице массы жидкости) имеют окончательный вид:
= 0; = 0; = 0. (2-14)
Эти уравнения были получены Л. Эйлером в 1755 г.
Дата добавления: 2015-12-29; просмотров: 1081;