ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ НАПОР

1. Удельная потенциальная энергия жидкости. Жидкость, находящаяся в покое или движении, обладает определенным запасом механической энергии, т. е. способностью производить работу. Покоящаяся жидкость обладает только так называемой потенциальной энергией.

Покажем на рис. 2-9 горизонтальную координатную плоскость ОО, которую назовем плоскостью сравнения. На плоскости ОО наметим начало оси z, причем эту ось направим вверх. Ординаты z различных точек жидкости будем называть отметками; «отметка» точки есть возвышение ее над плоскостью сравнения. Будем рассматривать точку n жидкости; пьезометрическая высота h_изб для этой точки, а также ее отметка z показаны на чертеже.

Выделим у точки некоторый объем жидкости весом G и приключим к этой точке открытую трубку П. Под действием избыточного давления р в точке n объем жидкости весом G поднимается в трубке П на высоту h_изб над плоскостью MN и на высоту H над плоскостью сравнения ОО (см. рис. 2-9).

Из сказанного должно быть ясно, что рассматриваемый объем жидкости, сосредоточенный в точке n, может произвести работу:

во-первых, за счет своего падения на плоскость ОО с высоты z; эта возможная работа будет

(ЭП)_z = zG; (2-54)

во-вторых, за счет своего поднятия под давлением р на высоту h_изб; эта возможная работа будет

(ЭП)_р = h_избG. (2-55)

Полная работа, которую может произвести объем жидкости весом G,

(ЭП) = (ЭП)_z + (ЭП)_p = zG + h_избG. (2-56)

Величина (ЭП) и называется потенциальной энергией определенного объема жидкости (в данном случае объема весом G).

Удельной потенциальной энергией (УЭП) называется энергия, отнесенная к единице веса жидкости, находящейся в точке n:

(УЭП) = = z + h_изб = H. (2-57)

Как видно, внутри удельной потенциальной энергии (полной) в общем случае следует различать два вида потенциальной энергии:

1) удельную потенциальную энергию положения (УЭП)_z, равную z;

2) удельную потенциальную энергию давления (УЭП)_р, равную

h_изб =

2. Потенциальный напор. В гидравлике слово напор применяется в особом смысле; напором принято называть удельную энергию жидкости, т. е. меру энергии, принадлежащей единице веса жидкости.

В соответствии с этим потенциальный напор будет представлять собой величину H [см. формулу (2-57)]; при этом величина z (отметка точки) может быть названа геометрическим напором; величина же h_изб (пьезометрическая высота) - напором давления. Достаточно величины H, z, h_изб умножить на единицу веса жидкости, и мы при этом получим соответствующие энергии этой единицы веса жидкости.

Можно сказать, что потенциальный напор (удельная потенциальная энергия) слагается из двух напоров: геометрического напора (удельной энергии положения) и напора давления (удельной энергии давления).

Все поясненные выше напоры имеют размерность длины и выражаются соответствующими отрезками: H, z, h_изб (рис. 2-9).

Следует запомнить, что с геометрической точки зрения потенциальный напор Н в данной точке (например, в точке п) по отношению к какой-либо горизонтальной плоскости сравнения ОО представляет собой сумму двух линейных величин: отметки данной точки z и соответствующей ей пьезометрической высоты h_изб:

или

H = z +

. (2-58)

Величина Н (представляющая собой превышение над плоскостью сравнения ОО уровня жидкости в открытом пьезометре, подключенном к рассматриваемой точке) характеризуется следующей особенностью: для всех точек покоящейся жидкости величина Н одинакова:

Н = const (по всему объему). (2-59)

Для доказательства справедливости этого положения напишем:

H = z + = z + = z + =

= T + = const, (2-60)

где Т - превышение горизонта жидкости в сосуде над плоскостью ОО (Т= const).

Рис. 2-12. Удельная потенциальная энергия. Потенциальный напор

Н - потенциальный напор или удельная потенциальная энергия жидкости; H_A - абсолютный потенциальный напор или абсолютная потенциальная удельная энергия жидкости

Рис. 2-13. Поле сил тяжести (описываемое потенциальной функцией z) и поле архимедовых сил (описываемых потенциальной функцией p/γ), внутри которых одновременно мысленно перемещается одна единица веса жидкости.

- H = z + p/γ - суммарная потенциальная функция, отнесенная к единице веса жидкости; p/γ = const; z z = const

Возьмем закрытый сосуд (рис. 2-12). Наметим в жидкости ряд точек: 1, 2, 3, 4, ... К каждой такой точке приключим пьезометр П. Основываясь на (2-59), можем утверждать, что горизонт жидкости во всех пьезометрах должен установиться на одной и той же высоте.

Отсюда ясно, что по горизонтам жидкости в пьезометрах П можно провести некоторую плоскость РР, которая должна быть горизонтальной. Эта горизонтальная плоскость РР называется пьезометрической плоскостью. Как видно, эта плоскость РР (или, как обычно говорят, пьезометрическая линия Р - Р) возвышается над плоскостью сравнения на величину Н.

В заключение подчеркнем следующее: так как Н постоянна для всех точек покоящейся жидкости, то, следовательно, во всех точках такой жидкости полная удельная потенциальная энергия (УЭП) одинакова:

(УЭП) = const (по всему объему). (2-61)

3. Потенциальный напор, отвечающий абсолютному давлению. Выше при пояснении удельной энергии и напора мы оперировали открытым пьезометром П. Если бы мы вместо пьезометра П пользовались закрытым пьезометром П₀, то вместо потенциального напора Н получили бы абсолютный потенциальный напор H_A (см. рис. 2-9 и 2-12). Очевидно, напор H_A должен выражать абсолютную удельную потенциальную энергию, подсчитанную без учета противодавления со стороны атмосферы.

Пьезометрическая линия P_A - P_A, определяемая напором H_A, должна возвышаться над пьезометрической линией Р-Р на высоту, равную p₀/γ.

4. Дополнительные замечания о потенциальном напоре. Представим на рис. 2-13 сосуд А, причем вес всей жидкости, наполняющей этот сосуд, обозначим через G. Наметим на рисунке дополнительно: плоскость сравнения ОО и эквипотенциали поля сил тяжести, т. е. линии z= const (см. линии 0, 1, 2, 3, ..., 8, показанные длинными штриховыми линиями).

Как известно из механики, потенциальная энергия (ЭП) жидкости, заполняющей сосуд и находящейся только в поле сил тяжести, равна (относительно плоскости сравнения ОО) GH_c, где H_c - возвышение центра тяжести рассматриваемого объема жидкости над плоскостью сравнения. Наша жидкость, падая на плоскость ОО, должна произвести работу, равную GH_c. Именно эту работу будем называть собственной потенциальной энергией объема жидкости, заполняющей сосуд и находящейся только в поле сил тяжести; обозначая ее через (ЭП)_соб, имеем:

(ЭП)_соб = GH_c. (А)

Выше мы ввели понятие потенциального напора H и определили эту величину как меру энергии, принадлежащей единице веса жидкости. Следует подчеркнуть, что исходя из понятия потенциального напора недопустимо подсчитывать собственную энергию покоящейся жидкости. Действительно, если бы мы попытались это сделать, то для величины (ЭП)_соб получили бы неправильное выражение:

(ЭП)_соб = GH ( . (Б)

Вопрос о потенциальном напоре H (о величине удельной потенциальной энергии) надлежит понимать (в связи с дальнейшим рассмотрением вопросов гидродинамики; см., например, § 3-15 и § 9-4) следующим образом.¹

Рассматриваем жидкость, находящуюся в сосуде А, как некоторую (в данном случае) неподвижную среду. Намечаем в этой среде одну единицу веса жидкости. При этом считаем, что данная единица веса (рис. 2-13) заключена как бы в невесомый контейнер, образованный «стальными» невесомыми стенками, изолирующими эту единицу веса от окружающей жидкости. Далее представляем себе, что данная единица веса жидкости перемещается внутри упомянутой неподвижной среды (например, от точки m до точки n). При этом потенциальный напор H (удельную потенциальную энергию) следует понимать как меру энергии, принадлежащей указанной единице веса жидкости, перемещающейся в окружающей ее неподвижной жидкой среде.

Покажем, что данная движущаяся единица веса жидкости действительно обладает (при определенных поставленных условиях) потенциальной энергией, равной (H ед. веса). С этой целью прежде всего обратим внимание на следующее существенное обстоятельство.

Неподвижная среда тяжелой жидкости, находящейся в сосуде А, обусловливает существование скалярного поля давлений (p/γ), причем величина =ƒ(x,y) является потенциальной функцией векторного поля градиентов давления

J_p =

Линии равного потенциала = const показаны на рис. 2-13 пунктиром: первая эквипотенциаль О совпадает с поверхностью жидкости, ее наименование p/γ = 0; последняя (самая нижняя) эквипотенциаль 4' должна совпадать с дном сосуда, ее наименование будет = h, где h - глубина воды в сосуде.

Имея в виду сказанное, заключаем, что намеченная нами единица веса жидкости одновременно перемещается в двух разных потенциальных полях:

а) в векторном поле сил тяжести, описываемом потенциальной функцией z;

б) в поле векторов J_p, описываемом потенциальной функцией p/γ.

Как видно, при указанной постановке вопроса сама тяжелая жидкость, находящаяся в сосуде А, интересует нас только как «материал», создающий неподвижное потенциальное поле, описываемое функцией p/γ (внутри которого перемещается выделенная единица веса жидкости).

Легко видеть, что работа данной единицы веса при перемещении ее от точки т до точки п (см. рис. 2-13), равняется:

1) за счет движения ее только в потенциальном поле сил тяжести величине

(z₇ –z₅) ед. веса;

2) за счет движения ее только в потенциальном поле градиентов давления величине

(z₅ –z₇) ед. веса,

где z₅ и z₇ - возвышение над плоскостью сравнения соответственно точек п и т.

Как видно, полная работа данной единицы веса, перемещающейся одновременно в двух потенциальных полях,

(z₇ –z₅) = 0,

а следовательно, полная потенциальная энергия единицы веса жидкости, находящейся в любой точке, расположенной внутри сосуда, одинакова и равна величине Н (поскольку этой величиной энергии, как видно из рис. 2-13, обладают единицы веса жидкости, расположенные, например, на свободной поверхности жидкости).

Именно указанным образом можно более точно разъяснить вопрос о потенциальной энергии некоторого объема покоящейся жидкости, который одновременно находится в двух различных векторных неподвижных силовых потенциальных полях.

Данный вопрос можно разъяснить еще и следующим образом. Возьмем кубический метр жидкости, заключенный в практически невесомый прочный (например, стальной) контейнер, имеющий кубическую форму. Далее представим себе, что этот контейнер (заполненный тяжелой жидкостью) перемещается в воздухе (т. е. только в поле сил тяжести). Очевидно, работа, выполненная этим контейнером, определится разностью наименований соответствующих линий равного потенциала только поля сил тяжести («начальной» и «конечной» эквипотенциалей). После этого удалим из нашего контейнера жидкость и тем самым сделаем его невесомым. Этот пустой невесомый контейнер будем мысленно перемещать не в воздухе, а в окружающей жидкости, т. е. только в векторном поле градиентов J_p давления. Очевидно, за счет давления жидкости на стенки пустого контейнера сверху и снизу (т. е. за счет архимедовой силы, имеющей свою потенциальную функцию в виде p/γ) мы получим ту же работу, что и выше, когда мы мысленно перемещали данный контейнер в воздухе (в поле сил тяжести). Однако две эти работы (работа только в поле сил тяжести и работа только в поле сил давления - архимедовых сил) будут иметь разные знаки, причем сумма этих работ будет равна нулю.

Как видно, рассматривая вопрос о потенциальной энергии одной единицы веса жидкости, находящейся в сосуде А, мы должны представлять себе воображаемое перемещение этой единицы веса в окружающей ее жидкости, при этом мы должны учитывать, что данная единица веса жидкости одновременно перемещается в двух разных силовых потенциальных полях:

1) в поле сил тяжести, описываемом приведенной потенциальной функцией, равной z, и

2) в поле архимедовой силы, описываемой приведенной потенциальной функцией, равной p/γ.

Очевидно, что полная потенциальная энергия рассматриваемой единицы веса, одновременно находящейся в двух различных силовых потенциальных полях, должна равняться (относительно произвольно намеченной плоскости сравнения ОО) величине z + = H.

Таким образом, величина H не есть удельная потенциальная энергия жидкости (находящейся, например, в некотором сосуде; см. рис. 2-13), подсчитанная относительно принятой плоскости сравнения ОО в предположении, что на жидкость действуют только силы тяжести. Величина H представляет собой отнесенную к единице веса жидкости потенциальную функцию, описывающую суммарное векторное силовое поле, образованное силами тяжести и еще «архимедовыми силами» (точнее говоря, силами, выражаемыми градиентами давления J_p; см. выше).