Табличное представление закона распределения двумерной СВ

Используется для дискретной двумерной СВ. Имеет вид таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности , i = 1,2,…,n , j = 1,2,…m

Т.к. события (X = x_i , Y = y_j) i = 1,2,…,n, j = 1,2,…m образуют полную группу, то сумма вероятностей p ( x_i, y_j) , помещенных во все клетки равна 1.

Зная закон распределения дискретной двумерной СВ, можно найти законы распределения каждой из составляющих:

Аналогично

Пример. Найти законы распределения составляющих X и Y для дискретной СВ, заданной таблично:

Решение.

Закон распределения X

Закон распределения Y

Интегральная функция распределения двумерной СВ.

Интегральной функцией распределения двумерной СВ ( X,Y) называют функцию F(x,y) , определяющую для каждой пары чисел x и y вероятность того, что X примет значение меньше x , и при этом Y примет значение меньше y

(4.1)

Другими словами F(x,y) - вероятность совместного выполнения двух неравенств X < x и Y < y .

Геометрически F(x,y) есть вероятность попадания случайной точки (X,Y) в бесконечный квадрант с вершиной (x,y) , расположенный левее и ниже этой вершины.

Свойства F(x,y) :

1. Значения F(x,y) удовлетворяют двойному неравенству 0 ≤ F(x,y) ≤ 1

2. F(x,y) есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.

если x₂ > x₁

если y₂ > y₁

3. Имеют место предельные соотношения

4. При y = ∞ F(x,y) становится интегральной функцией составляющей X

При x = ∞ F(x,y) становится интегральной функцией составляющей Y

Используя F(x,y) можно определить вероятность попадания случайной точки (X,Y) в некоторую область.

Если вид области полуполоса, то вероятность попадания в неё (полуполосу) равна приращению F(x,y) по одному из аргументов

(4.2)

Если вид области – прямоугольник

то вероятность попадания (4.3)

Пример. Двумерная СВ задана F(x,y)

Найти вероятность того, что СВ примет значение из квадрата, вершины которого имеют координаты (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)

Решение.

Множество точек заданного квадрата определяется соотношением

тогда

Дифференциальная функция распределения непрерывной двумерной СВ.

Дифференциальная функция распределения непрерывной двумерной СВ (плотность распределения непрерывной двумерной СВ, двумерная плотность вероятностей) f(x,y) - это вторая смешанная производная от функции распределения

(4.4)

или (что следует из определения производной) f(x,y) - это предел отношения вероятности попадания случайной точки в элементарный участок плоскости, примыкающий к точке (x,y) , к площади этого участка, когда его размеры стремятся к нулю.

Поверхность, изображающая функцию f(x,y) называется поверхностью распределения.

Интегральная функция F(x,y) выражается через f(x,y) формулой

(4.5)

Величина называется элементом вероятности для системы двух СВ и равна вероятности попадания случайной точки (X,Y) в элементарный прямоугольник со сторонами , , примыкающий к точке (x,y) .

Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в произвольную область D определяется формулой

(4.6)

Для прямоугольной области

Свойства f(x,y) :

1. f(x,y) есть неотрицательная функция f(x,y) ≥ 0 .

2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от f(x,y) равен 1

Если все возможные значения (X,Y) принадлежат конечной области D, то

Плотности отдельных величин, входящих в систему двух СВ, можно вычислить через совместную плотность f(x,y)

(4.7)

Пример. Система двух СВ (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью

Найти коэффициент a, F(x,y) , вероятность попадания случайной точки (X,Y) в квадрат, центр которого совпадает с началом координат, а стороны имеют длину = 2.

Решение.

Из условия находим

a = 1 / π²

Из формулы (4.5)

По (4.6)

Числовые характеристики системы двух СВ.

Математическое ожидание системы двух СВ (X,Y) :

- для дискретной (X,Y)

(4.8)

- для непрерывной (X,Y)

Математическое ожидание составляющих X,Y системы двух СВ (X,Y) :

- если X,Y - ДСВ

(4.9)

- если X,Y - НСВ

(4.10)

Дисперсия системы двух СВ (X,Y) :

- для дискретной (X,Y)

(4.11)

- для непрерывной (X,Y)

(4.11)

Дисперсия составляющих X,Y системы двух СВ (X,Y):

- если X,Y - ДСВ

(4.12)

- если X,Y - НСВ

(4.13)

Начальный момент порядка k+s системы двух СВ (X,Y) - МО произведения :

- для дискретной (X,Y)

(4.14)

- для непрерывной (X,Y)

В частности ,

Центральный момент порядка k+s системы двух СВ (X,Y) - МО произведения отклонений соответственно k-ой и s-ой степеней:

- для дискретной (X,Y)

- для непрерывной (X,Y)

(4.15)

В частности

, , ,

Для характеристики связи между СВ X и СВ Y системы двух СВ (X,Y) служит смешанный центральный момент порядка 1+1 , который получил название корреляционный момент (или ковариация) и обозначается .

Для дискретной (X,Y):

(4.16)

Для непрерывной (X,Y):

Абсолютная величина не превышает среднего геометрического D(X) и D(Y)

Размерность равна произведению размерностей СВ X и Y .

Для характеристики связи между СВ X и СВ Y системы двух СВ (X,Y) независимо от выбора единиц измерения СВ X и Y служит коэффициент корреляции r_xy , равный отношению к произведению СКО X и СКО Y

(4.17)

или , где

X*, Y* - нормированные СВ с МО=0 и СКО=1.

Абсолютная величина r_xy не превышает единицы .

r_xy есть величина безразмерная. Коэффициент корреляции r_xy характеризует степень тесноты линейной зависимости между СВ X и СВ Y . Если Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью вида Y = aX + b , где a,b не случайны, то r_xy = ± 1, где знак «+» или «-» берется в соответствии со знаком коэффициента a .

Пример. Для дискретной двумерной СВ (x,Y) , заданной таблично, рассчитать числовые характеристики.

Решение.

M (X,Y) по (4.8)

M(X) и M(Y) по (4.9)

D(X,Y) по (4.11)

D(X) и D(Y) по (4.12)

µ_xy по (4.16)

верно

r_xy (4.17)

верно.