Формула полной вероятности

Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий H₁, H₂,…, H_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A

(2.20)

События H₁, H₂,…, H_n называются гипотезами.

Пример1. Имеются две корзины: в первой a белых шаров и b черных; во второй c белых и d черных. Из первой корзины во вторую перекладывают не глядя один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение.

Событие A - появление белого шара из второй корзины

Гипотезы H₁ - переложен из первой корзины во вторую белый шар,

H₂ - переложен черный шар.

Пример 2. Имеются три одинаковые корзины. В первой a белых шаров и b черных; во второй c белых и d черных, в третьей только белые шары. Некто подходит наугад к одной из корзин и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение.

Событие A - появление белого шара

Гипотезы H₁ - выбор первой урны,

H₂ - выбор второй урны,

H₃ - выбор третьей урны.

Формула Бейеса (теорема гипотез)

Если до опыта вероятности гипотез H₁, H₂,…, H_n были равны соответственно P(H₁), P(H₂),…, P(H_n) , а в результате опыта произошло событие A , то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются по формуле

Вероятности P(H_i) называются априорными (доопытными), (2.21)

Вероятности P_A(H_i) - апостериорными (послеопытными).

Формула Бейеса (2.21) дает возможность «пересмотреть» возможности (переоценить вероятности) гипотез с учетом результата испытания.

Пример. По каналу связи, на который могут действовать помехи, передается одна из двух кодовых комбинаций 111 или 000 с вероятностями 0,8 и 0,2 соответственно. Через помехи вероятность верного получения каждого из символов комбинации равна 0,6. Считается, что символы кодовых комбинаций искажаются независимо друг от друга. Определить, какая кодовая комбинация была отправлена, если получена – 000.

Решение.

Гипотезы H₁ - отправлена комбинация 111

H₂ - 000

P(H₁) = 0,8, P(H₂) = 0,2

По (2.20)

По (2.21)

Сравнив P_A(H₁) и P_A(H₂) делаем вывод, что при полученной комбинации 000 вероятнее была отправлена комбинация 111.

Формула Бернулли.

Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью q , то вероятность того, что событие A произойдет в этих n опытах ровно k раз, выражается формулой Бернулли

. , 0≤ k ≤ n (2.22)

Формула (2.22) выражает так называемое биномиальное распределение вероятностей и применяется, как правило, при n ≤ 10

Пример. Сообщение передается серией кодированных сигналов. В серии из десяти сигналов, вероятность получения каждого сигнала p=0,2. Сообщение считается принятым, если из серии получено четыре сигнала. Какова вероятность принять переданное сообщение.

Решение.

Событие A - сигнал принят, n=10, k=4.

Значение k , при котором P_n(k) превышает или, по крайней мере, не меньше, вероятности остальных возможных исходов испытания называют наивероятнейшим, обозначают k₀ и определяют из двойного неравенства

(np – q) ≤ k₀ ≤ (np + p) (2.23)

При этом, если

(np – q) - дробное, то существует одно наивероятнейшее число k₀ ;

(np – q) - целое, то существует два наивероятнейших числа: k₀ и k₀ + 1;

(np) - целое, то k₀ = n*p .

Пример. Вероятность того, что в течении одного дня на предприятии будет перерасход воды равна 0,3 . Определить наиболее вероятное число дней в течении месяца (30-ти дней) с нормальным расходом воды.

Решение.

n=30 , p = 1-0,3 = 0,7; q=0,3

По (2.23) 30*0,7 – 0,3 ≤ k₀ ≤ 30*0,7 + 0,7

20,7 ≤ k₀ ≤ 21,7

k₀ = 21

Формула Пуассона

Если число n независимых испытаний достаточно велико (n ≥ 100) , а вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и мала (p ≤ 0,1) , и n*p ≤ 10, то вместо (2.22) используют асимптотическую формулу Пуассона

(2.24)

Пример. Радиоприбор состоит из 1000 элементов, которые работают независимо друг от друга. Каждый из них может выйти из строя с вероятностью 0,002. Вычислить вероятность того, что во время работы прибора из строя выйдут от 3 до 6 элементов.

Решение.

n = 1000, p = 0,002, n*p = 2

Локальная формула Лапласа.

Если число n независимых испытаний достаточно велико, а вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а так же n*p > 10 , то вместо (2.22) используют асимптотическую локальную формулу Лапласа

(2.25)

p ≠ 0, p ≠ 1

Функция называется функцией Гаусса и имеет свойства:

- четности ;

- если x > 4, то ;

- протабулирована на отрезке [0;4] .

Пример. В партии резисторов 75% изделий не имеют дефектов. Из партии случайным образом отбирают 400 резисторов. Вычислить вероятность того, что 290 штук среди отобранных не будет иметь дефектов.

Решение.

n = 400, k = 290, p = 0,75, q = 0,25