Формы закона распределения дискретной случайной величины.

Ряд распределения дискретной случайной величины - это таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные различные значения этой случайной величины с соответствующими им вероятностями

Т.к. в результате испытания X принимает только одно из приведенных значений, то события X=x₁, X=x₂ ,…, X=x_i , … образуют полную группу и (3.1)

Формула (3.1) называется условием нормировки ДСВ.

Многоугольник распределения ДСВ – графическое изображение ряда распределения ДСВ в декартовой системе координат.

Многоугольник распределения для ДСВ X, принимающей значения x₁, x₂, … , x_n с вероятностями p₁, p₂, … , p_n соответственно.

Аналитическая форма представление закона распределения ДСВ с помощью формулы

Функция распределения F(x) ДСВ X есть разрывная, ступенчатая функция, скачки которой соответствуют возможным значениям x₁, x₂, … случайной величины X и равны вероятностям p₁, p₂, … этих значений. Между скачками функция F(x) сохраняет постоянное значение. В точке разрыва функция F(x) равна тому значению, с которым она подходит к точке разрыва слева, т.е. F(x) - непрерывна слева.

График функции распределения ДСВ X , принимающей значения x₁, x₂, … , x_n .

Плотность распределения не используется для представления закона распределения ДСВ.

Пример. Устройство состоит из 3-х независимо работающих элементов. Вероятность того, что элемент не сработает в данном испытании 0,1. Привести все формы представления закона распределения случайной величины X равной числу несработавших элементов.

Решение.

X - ДСВ. Возможные значения

x₁ = 0 - все элементы работающие;

x₂ = 1 не сработал 1 элемент;

x₃ = 2 не сработало 2 элемента;

x₄ = 3 не сработали 3 элемента.

Вероятность каждого из возможных значений ДСВ X можно рассчитать по формуле Бернулли (2.22), которая для данного примера будет являться аналитической формой закона распределения.

n=3 , p=0,1, q=1-0,1=0,9

Проверим (3.1)

Запишем ряд распределения ДСВ

	0,729	0,243	0,027	0,001

Построим многоугольник распределения (схематично):

Построим функцию распределения.

Если x ≤ 0, то X < x - невозможное событие и F(x) = 0

Если 0 < x ≤ 1 , то F(x) = p₁ = 0,729 т.к. событие X < x равнозначна событию X = 0

Если 1 < x ≤ 2 , то

Cобытие X < x может быть осуществлено, когда X примет значение x₁ или x₂ .

Поскольку события X = x₁, X = x₂ - несовместны и независимы, то F(x) = P(X < x) равна сумме вероятностей P(X=x₁) и P(X=x₂) .

Если 2 < x ≤ 3 то

Если x > 3, то F(x) = 1 , т.к. событие X < x является достоверным.

Итак

Построим график функции распределения: