Основные (типовые) распределения ДСВ

СВ X называется распределенной по биномиальному закону, если её возможные значения 0,1,2,…,n, а соответствующие вероятности рассчитываются по формуле Бернулли (2.22)

k = 0,1,2,…,n

k - число появления события в независимых испытаниях.

Биномиальное распределение зависит от двух параметров p и n .

Ряд распределения имеет вид:

				…

M (X) = n*p D(X) = n*p*q (3.6)

Пример. Проверить формулы (3.6) для примера рассмотренного выше.

Решение.

n=3 , p=0,1 , q=0,9

M(X) = 3*0,1 = 0,3

D(X) = 3*0,1*0,9 = 0,27

ДСВ называется распределенной по закону Пуассона, если её возможные значения 0,1,2,…,n, а соответствующие вероятности выражаются формулой Пуассона (2.24)

Распределение Пуассона зависит от одного параметра λ - среднее число появления событий при испытаниях.

Ряд распределения имеет вид:

X				…
P

M(X) = D(X) = λ = n*p

Пуассоновское распределение является предельным для биномиального при , , если .

Пример1.

Устройство имеет 1000 элементов, которые работают независимо один от другого. Вероятность того, что элемент выйдет из строя во время работы p=0,004. Определить среднее количество элементов, которые могут выйти из строя.

Решение.M(X) = n*p = 1000*0,004 = 4

Пример2.

На АТС на протяжении часа поступает в среднем 30 вызовов. Найти вероятность того, что на протяжении минуты поступит не более 2-х вызовов.

Решение.

M(X) = 30/60 = ½ = 0,5 - среднее числo вызовов за одну минуту

λ = M(X) = 0,5

ДСВ X называется распределенной по гипергеометрическому закону, если её возможные значения 0,1,2,…, min (M,n) , а соответствующие вероятности определяются гипергеометрической формулой

(1.7).

m = 0,1,2,…,min (M,n)

Гипергеометрическое распределение зависит от трех параметров n, N, M.

Ряд распределения имеет вид:

X				…
P

M(X) =

При n < 0,1*N гипергеометрическое распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, найденным по биномиальному закону.

Пример. В ящике имеется 10 однотипных деталей, из них 7 стандартных. Из ящика берут 4 детали. Построить ряд распределения ДСВ – числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение.

X
P

ДСВ называется распределенной по равномерному закону, если ее возможные значения 0,1,2,…,n-1 , а соответствующие им вероятности можно рассчитать по формуле

P_n(k) = 1/n, k = 0,1,2,…,n-1

Равномерное распределение зависит от одного параметра n/

Ряд распределения имеет вид:

Пример. На связке 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Составить ряд распределения ДСВ числа ключей, которые пробуются для открытия замка.

p₁ = 1/5

p₂ = 4/5 * ¼ = 1/5

p₃ = 4/5 * ¾ * 1/3 = 1/5

p₄ = 4/5 * ¾ * 2/3 * 1/2 = 1/5

p₅ = 4/5 * ¾ * 2/3 * ½ * 1 = 1/5

ДСВ X имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения 0,1,2,… а вероятности этих значений .

Вероятности p_k для ряда последовательных значений k образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q.

Ряд распределения имеет вид:

M(X) = q/p D(X) = q / p²

Нередко рассматривают СВ Y=X+1 , равную числу попыток до получения результата, включая удавшуюся попытку, т.н. геометрическое распределение начинающееся с «1», для которого

Ряд распределения СВ Y :

Y			…	k	…
p	p	q * p	…		…

M(Y) = 1/p, D(Y) = q / p²

Геометрическое распределение зависит от одного параметра p .

Пример. Из корзины, в которой 3 черных и два белых шара последовательно вынимают шары до появления белого. Перед очередным извлечением шара, вынутый ранее шар возвращается в корзину. Построить ряд распределения ДСВ X - числа вынутых белых шаров до появления черного и ДСВ Y - количество попыток до появления черного шара.

Решение:

Непрерывные СВ

Непрерывной СВ в широком смысле называется СВ, которая может принимать все (бесконечно много) значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Если функция распределения F(x) везде непрерывна и имеет производную, СВ X называется непрерывной в узком смысле.

Пример.

1.Координаты точки попадания при выстреле.

2.Время опоздания поезда.

3.Время безотказной работы лампы.