Применение теорем умножения и сложения

На практике сравнительно редко встречаются задачи, в которых нужно применять только теорему умножения или только теорему сложения вероятностей. Обычно обе теоремы приходится применять совместно. При этом, как правило, событие, вероятность которого требуется определить, представляется в виде суммы и (или) произведений нескольких несовместных (совместных) событий.

Пример. По мишени стреляют 3 стрелка. Вероятность попадания для них P(A₁) = p₁ = 0,8; P(A₂) = p₂ = 0,6; P(A₃) = p₃ = 0,9. Найти вероятность:

B – ни одного попадания;

C – ровно 1 попадание;

D – ровно 2 попадания;

E – ровно 3 попадания;

F – хотя бы одно попадание.

Решение.

по (2.8), т.к. события A₁, A₂, A₃ - независимы в совокупности.

по (2.17)

q₁ = 1 – 0,8 = 0,2

Аналогично

q₂ = 1 – 0,6 = 0,4

q₃ = 1 – 0,9 = 0,1

P(B) = q₁* q₂* q₃ = 0,2*0,4*0,1 = 0,008

E = A₁*A₂*A₃

P(E) = p₁*p₂*p₃ = 0,8*0,6*0,9 = 0,432

События В,С,D,Е образуют полную группу попарно несовместных событий. Проверим (2.16)

P(B) + P(C) + P(D) + P(E) = 0,008 + 0,116 + 0,444 + 0,432 = 1

P(F) = P(E+D+C) = P(E) + P(D) + P(C) = 0,432 + 0,444 + 0,116 = 0,992

Однако такой путь решения задачи слишком сложен. Здесь проще от прямого события F перейти к противоположному событию – ни одного попадания – что соответствует событию B.

Поэтому P(F) = 1 – P(B)

P(F) = 1 – 0,008 = 0,992

На примере вычисления P(F) проиллюстрирован принцип целесообразности применения противоположных событий в теории вероятностей – если противоположное событие распадается на меньшее число вариантов, чем прямое событие, то имеет смысл при вычислении вероятностей переходить к противоположному событию.