Модель коробки Эджуорта

Рассмотрим ситуацию обмена благами А и В между потребителями I и II. Объединим на одном графике кривые безразличия I и II.

Фигура, которая заштрихована и ограничена исходными кривыми безразличия, представляет так называемое ядро – множество точек, характеризующих наборы благ А и В. В пределах ядра возможны паретоулучшения, т.е. повышение благосостояния I и II потребителей. Действительно, распределение благ А и В в точке К для них предпочтительнее, чем в точке Н – обеспечивает большую полезность. Ядро является областью взаимовыгодных сделок обмена благами между потребителями.

В точке касания М двух кривых безразличия потребителей I и II достигается состояние паретоэффективности (паретооптимальности): невозможно улучшить благосостояние одного потребителя, не ухудшив благосостояние другого. В этой точке обе кривые безразличия имеют одинаковый наклон относительно своих осей координат, а так как наклон кривых безразличия характеризует предельную норму замещения благ MRS, то условие паретоэффективности – это равенство у обоих потребителей предельных норм замещения потребляемых благ: MRS_AB^I= MRS_AB^II .

Все точки касания кривых в коробке Эджуорта, которая и выступает ядром, образуют множество паретоэффективных состояний в обмене в виде контрактной линии FMN. Можно, построить кривую потребительских возможностей двух потребителей, точки которой соответствуют величинам полезности потребителей в точках паретоэффективности на контрактной линии.

Задачи, связанные с потребительским выбором многих лиц по многим благам, рассматриваются в рамках теории игр при рассмотрении аксиоматических торгов, решающий вклад в которую был сделан в 40-50-е годы ХХ века экономистами-математиками Д. Нейманом, О. Моргенштерном, Д. Нэшем. Так, Д. Нэш доказал, что при выполнении ряда условий (аксиом) в задаче торга можно найти единственное справедливое решение, дающее ожидаемый каждым игроком выигрыш (увеличение полезности). Но важным является критерий справедливости. Например, в известном примере дележа продуктов два агента получают общий подарок, состоящий из одного литра джина и одного литра виски. Они должны справедливо поделить подарок между собой, учитывая, что второй агент не любит джин, а первый – одинаково любит и джин, и виски. Обычный эгалитаризм отдаст весь джин первому агенту, а все виски, второму. При этом очевидно, что будет ущемлен первый агент, потолок полезности которого равен двум единицам, а для второго равен только одной единице. Можно вычислить, что более справедливым будет решение по выделению первому агенту литра джина и 1/3 литра виски, а второму – 2/3 литра виски.

Рассмотрим дележ между Ивановым и Петровым 20 кг яблок и 30 кг груш. Функция полезности Иванова U(x,y)=xy, а функция полезности Петрова U(x,y)=xy², где х – количество (кг) яблок; у – количество (кг) груш. Необходимо построить кривую контрактов и кривую потребительских возможностей. Кривую контрактов нужно строить по точкам паретооптимальных наборов, которые определяются из условий равенства предельных норм замены яблок грушами у Иванова и у Петрова.

Если – х₁ и у₁ количество яблок у Иванова, а х₂ и у₂ у Петрова, то условие равенства MRS_ху^и= MRS_ху^п : (дифференцируем функции полезности по Х и по У и делим полученные значения).

Учитывая, что х₁+х₂=20 и у₁+у₂=30, получим, что .

Задавая значения х₁ от 0 до 20, получим значения остальных переменных, характеризующих точки кривой контрактов.

Пусть х₁ последовательно равна 5, 10, 15, тогда для

точки А х₁=5; х₂=15; у₁=30/7; у₂=180/7;

точки В х₁=10; х₂=10; у₁=10; у₂=20;

точки С х₁=15; х₂=5; у₁=18; у₂=12.

Соединяя точки А, В, С и начало координат коробки Эджуорта, получим кривую контрактов (рис. 33):

Зная три варианта оптимального распределения яблок и груш, найдем уравнение полезности Иванова и Петрова в этих комбинациях и построим линию потребительских возможностей (рис. 34):

Вопросы для контроля и задания

1. Для двух потребителей товары Х и У являются совершенными заменителями в пропорции 1:1. Общее количество товара Х – 10 шт., У – 20 шт. Первоначальное распределение таково, что первому потребителю досталось 8 единиц Х и 3 единицы У. Является ли это распределение парето-эффективным?

2. Для двух потребителей товары Х и У являются взаимодополняющими в пропорции 1:1. Количество товаров Х=20 шт., У=20 шт. Нарисуйте линию кривой контрактов.

3. Функции полезности двух потребителей, участвующих в распределении благ Х и Y задаются формулами: U₁=xy и U₂=x+y. общее количество x=10, y=20, а цены Px=2, Py=3. Распределение благ следующее:

первый потребитель x=5 и y=12;

второй потребитель x=5 и y=8.

Определите: будет ли такое распределение оптимальным по Парето?