Матричные уравнения

Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид

, (1.24)

, (1.25)

, (1.26)

где – известные матрицы, а – неизвестные матрицы соответствующих размеров. В общем случае уравнения (1.24)-(1.26) эквивалентны некоторым системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), но в том частном случае, когда матрицы и обратимы, теория этих уравнений проста. Прежде чем изложить её отметим, что числовая матрица является решением уравнения (1.24), если при подстановке её в это уравнение вместо матрицы мы получаем верное матричное равенство (и аналогично для уравнений (1.25) и (1.26)).

Предложение 1.8. Пусть матрицы и обратимы, тогда уравнения (1.24)-(1.26) разрешимы при любых правых частях соответственно, а их единственные решения определяются по формулам

, ( )

, ( )

, ( )

◄ Так как уравнения (1.25) и (1.26) являются частными случаями уравнения (1.24) ( в первом случае и во втором случае), доказательство проведём лишь для уравнения (1.24). (Рассуждения в случае уравнений (1.25) и (1.26) предлагаем читателю провести самостоятельно.)

Пусть , , тогда по необходимости матрицы и имеют размер . Так как , , то для любой матрицы из существует матрица вида ( ). Подставляя её в уравнение (1.24), получаем

,

т.е. матрица вида ( ) является решением уравнения (1.24). Тем самым показано, что решение уравнения (1.24) существует.

Осталось показать его единственность. В самом деле, пусть некоторое решение уравнения (1.24), тогда справедливо матричное равенство

.

Умножая обе части слева на матрицу , а справа на матрицу , получаем, что

или

.

т.е. имеет вид ( ). ►

Два матричных уравнения будем называть равносильными, если они имеют одинаковые решения. В частности, если у одного из равносильных уравнений решений нет, то их нет и у второго уравнения. В последнем случае мы предполагаем, что неизвестные матрицы, входящие в оба уравнения, имеют одинаковые размеры.

Предложение 1.9.Пусть и . Тогда уравнения

, (1.27)

(1.28)

равносильны для любых матриц из .

◄ Действительно, если – решение уравнения (1.27), тогда . Умножая обе части этого равенства слева на матрицу , получаем, что.

или ,

т.е. является решением уравнения (1.28). Наоборот, если – решение уравнения (1.28), тогда

.

Но матрица обратима. Умножая обе части последнего равенства слева на матрицу , получаем, что

,

т.е. – решение уравнения (1.27). Если же у одного из уравнений (1.27) или (1.28) решений нет, тогда их нет и у второго уравнения, так как в противном случае, повторяя проведённые выше рассуждения, приходим к противоречию. ►

Упражнения

1. Выяснить, какие из следующих матриц равны

.

2. Написать матрицу, транспонированную данным:

.

3. Если матрица имеет вид

,

то каков вид матрицы ?

4. Матрицы и имеют вид:

а) б) .

Каковы размеры матрицы , если известно, что ?

5. Даны матрицы и . Найти матрицы .

а) ; б) ;

в) .

6. Найти произведение матриц , если:

а) ; б) ;

в) ; г)

д) ; е) ;

ж) ;

з) ;

и) ; к) ;

л) ; м) .

При вычислении сложных матричных выражений целесообразно продумать порядок действий, так как от этого зависит объём вычислений.

Пример 10. Найти матрицу , если

.

◄ Матрица существует, так как порядки сомножителей согласованны

,

и имеем порядок . Благодаря свойству ассоциативности операции умножения матриц последовательность её вычисления может быть различной, например, или .

Напомним, что при вычислении произведения двух матриц используется скалярное умножение двух арифметических векторов порядка . Будем называть это скалярное умножение «простым», если , и – «сложным», если (сокращённо ПСУ и ССУ). Посчитаем количества ПСУ и ССУ, которые необходимо совершить, чтобы вычислить матрицу указанными выше способами.

В первом случае последовательность вычислений такова:

1) – 6 ССУ

2) – 2 ССУ

3) – 8 ПСУ.

Всего: 8 ССУ и 8 ПСУ.

Во втором случае:

1) – 12 ПСУ

2) – 12 ССУ

3) – 8 ССУ.

Всего: 20 ССУ и 12 ПСУ.

Преимущество первого способа над вторым очевидно. Но есть ещё один порядок умножения, позволяющий сократить объём вычислений. Именно, .

В самом деле,

1) – 3 ССУ

2) – 2 ССУ

3) – 8 ПСУ.

Всего: 5 ССУ и 8 ПСУ.

Анализ трёх рассмотренных способов вычисления матрицы позволяет дать рекомендацию: при вычислении матричных произведений с числом сомножителей больше 2-х целесообразно начинать вычисление произведений с наименьшим числом столбцов у правого сомножителя, и заканчивать вычислением произведений с наибольшим числом столбцов у правого сомножителя. ►

7. Найти произведение , если:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

При вычислении матричных выражений вида предварительно следует привести подобные члены, если это возможно.

Пример 11. Найти матрицу

,

если

,

.

◄ Приводим подобные члены в исходном выражении для матрицы ,

.

Так как

,

. ►

8. Найти матрицу , если:

а)

;

б)

.

Часто сложное матричное выражение можно до его вычисления привести к более простому виду, используя свойства операций над матрицами.

Пример 12. Найти матрицу

,

если

◄ Заметив, что

,

где

,

получаем, что

. ►

9. Найти матрицу , если:

а) ;

б) .

10. Найти матрицу , если:

а) ;

б) ;

в) .

11. Найти матрицу , если

.

12. Найти матрицу , если:

а) ;

б) .

Введём обозначение для степени матрицы

,

И заметим, что ввиду некоммутативности операции умножения матриц

.

Из условия согласования следует, что степень матрицы определена только для квадратных матриц, а степень произведения определена для матриц прямоугольного вида. При этом число строк матрицы должно совпадать с числом столбцов матрицы .

При вычислении степеней матриц и матричных выражений следует попытаться среди малых степеней найти максимально простую матрицу с тем, чтобы использовать её для упрощения вычисления матрицы .

Пример 13. а) Найти матрицу

.

◄ Пусть , тогда

Поэтому

►

б) Найти матрицу , где

.

◄ Рассмотрим матрицы и :

,

.

Но тогда

. ►

13. Вычислить значение матричного выражения:

а) , если ;

б) , если ;

в) , если

, .

14. Вычислить .

Пусть – многочлен, , , . Многочленом от матрицы называется матричное выражение

, где .

Пример 14. Найти значение , если

.

◄ По определению

. ►

15. Найти значение :

а) ;

б) ;

в) .

Аппарат элементарных матриц позволяет находить обратную матрицу, если исходная матрица обратима.

Пример 15. Разложить матрицу в произведение простейших. Выяснить, является ли матрица обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу , если

.

◄ Решение основано на предложении 1.6 (см. пример 9). Приводим элементарными преобразованиями матрицу к виду ,

.

Матрица обратима и удовлетворяет соотношению

.

Умножая полученное равенство справа на матрицу

,

получаем, что

.

Теперь умножаем новое равенство на матрицу

слева,

.

Матрица обратима и . Поэтому

).

Откуда следует что

. ►

16. Указать элементарные матрицы, отвечающие следующим элементарным преобразованиям матрицы размера :

.

17. Каким элементарным преобразованиям матрицы размера соответствуют элементарные матрицы:

, , ,

, , .

18. В матрице произвести элементарные преобразования умножением на соответствующие элементарные матрицы или ( соответствуют строчным преобразованиям, – столбцовым):

а) ,

.

б) ,

,

.

19. Элементарными преобразованиями привести матрицу к виду :

а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) .

20. Матрицы из упражнения 19 разложить в произведение простейших.

21. Выяснить, является ли матрица обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу . Матрица имеет вид:

а) , б) , в) .

Замечание. В следующей главе, основываясь на данном методе обращения матриц, мы построим более эффективную вычислительную схему для нахождения обратной матрицы, связанную с методом Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.