Теория делимости квадратных матриц
Выше мы убедились, что арифметические операции над матрицами, прежде всего в части умножения, отличаются по своим свойствам от аналогичных операций над числами. Однако наиболее существенные отличия связаны с операцией деления.
Любое отличное от 0 действительное число имеет обратное число
, т.е.
, (1.11)
и поэтому любое действительное число можно разделить на любое ненулевое число
,
Теорию делимости для матриц будем строить, исходя из соотношений (1.11).
Матрица называется обратимой, если существует такая матрица
, что
. (1.12)
Если матрица обратима матрица
называется её обратной матрицей и обозначается
. Из равенства (1.12) следует, что все входящие в них матрицы квадратные и имеют одинаковый порядок
. В связи с этим будем считать, что все матрицы, рассматриваемые в данном пункте, принадлежат множеству
, а единичную матрицу
будем обозначать для простоты
. Множество всех квадратных обратимых действительных матриц порядка
в дальнейшем будем обозначать через
.
Свойства обратимых матриц.
1) Если , её обратная матрица
единственна.
◄ Действительно, допустим, что наряду с равенствами (1.12) выполняются равенства
. (1.13)
где . Умножая обе части равенства
на матрицу
слева, по свойству ассоциативности умножения матриц получаем, что
.
С другой стороны,
, т.е.
. ►
2) Если , тогда
, и
.
◄ Справедливость этого свойства вытекает из равенств (1.12). ►
3) Если , тогда
, и
. (1.14)
◄ Действительно, применяя операцию транспонирования к равенствам (1.12) и учитывая при этом, что , получаем, что
или
.
Последнее равенство означает, что матрица обратима, и её обратная матрица имеет вид
, т.е. выполнено равенство (1.14). ►
4) Если и
, тогда матрица
обратима и
. (1.15)
◄ Действительно, используя свойство 5) умножения матриц, получаем, что
,
.
Откуда следует обратимость матрицы и равенство (1.15). ►
5) Если , тогда
и
(1.16)
◄ Докажем, например, обратимость матрицы ,
Откуда следует обратимость матрицы и первое равенство (1.16). Обратимость матрицы
и второе равенство (1.16) доказывается аналогично. ►
6) Если , то во множестве
всегда существует необратимые матрицы.
◄ Примером такой матрицы является матрица
.
Действительно, равенство не может выполняться ни для какой матрицы
из
, так как в произведении
последняя строка всегда нулевая и поэтому
.►
Следующее утверждение по существу описывает все необратимые матрицы в .
Предложение 1.1. Если матрица является истинным делителем нуля, тогда она необратима.
◄ Пусть матрица и существует такая матрица
,
, что
или
. Тогда матрица
не может быть обратимой. Действительно, если предположить существование такой матрицы
, что
,
тогда умножая обе части равенства на матрицу
справа (или обе части равенства
на матрицу
слева), получаем, что
и аналогично в случае . ►
Справедливо и обратное утверждение.
Предложение 1.2. Если матрица отлична от нуль-матрицы и не является истинным делителем нуля, тогда она обратима.
Доказательство этого утверждения будет приведено позже в «Лекции V».
1.9. Основные типы алгебраических структур.
Пусть и
два произвольных непустых множества. Декартовым произведением
этих множеств называется множество всевозможных упорядоченных пар вида
, где
. При этом две пары
и
, где
, считаются равными, если
. Если
, тогда множество
называется декартовым квадратом множества
.
Пусть . Внутренним законом композиции на множестве
называется произвольное отображение декартова квадрата
во множество
. Внутренний закон композиции на множестве
каждой паре
элементов множества
ставит в соответствие определенный элемент множества
, который принято обозначать в виде сочетания трёх символов: элементов
и некоторого знака их соединяющего и одновременно позволяющего отличать друг от друга различные законы композиции, например,
,
и т.д.
Простейшими примерами внутренних законов композиции на множестве являются арифметические операции сложения, вычитания и умножения действительных чисел, которые паре действительных чисел
ставят в соответствие их сумму, разность и произведение,
.
Введенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве , а умножение матриц – внутренним законом композиции на множестве
.
Пусть . Внешним законом композиции на множестве
над множеством
называется произвольное отображение множества
во множество
.
Примером внешнего закона композиции на множестве матриц над множеством действительных чисел
является операция умножения матрицы на число,
.
Задание на некотором множестве одного или нескольких законов композиции, внутренних или (и) внешних, обладающих некоторыми стандартными свойствами, определяет на этом множестве различные алгебраические структуры (группы, поля, кольца, линейного пространства, алгебры и т.д.).
Если внутренний закон композиции на множестве , записываемый как умножение, обладает свойствами:
1) (ассоциативность)
для любых из
;
2) в существует такой элемент
, что
(существование единицы)
для каждого из
;
3) для каждого элемента из
найдется такой элемент
, что
(обратимость)
тогда говорят, что закон композиции определяет на структуру группы. Элемент
называется при этом единицей группы, а элемент
из 3) – обратным к
элементом и обозначается
.
Если наряду со свойствами 1) – 3) выполняется свойство
4) (коммутативность)
для любых из
, такая группа называется абелевой. Свойства 1) – 3) называются аксиомами группы, а свойства 1) – 4) аксиомами абелевой группы. В абелевой группе закон композиции записывается обычно как сложение, в связи с чем её аксиомы принимают вид
1’) ;
2’) в существует элемент
такой, что
;
3’) для любого из
найдется элемент
, такой, что
;
4’) .
Элемент называется нулем абелевой группы, а элемент
из аксиомы 3’) – противоположным к элементу
и обозначается
.
Пример 3. а) Множество является мультипликативной группой, т.е. операция умножения матриц определяет на этом множестве структуру группы.
◄ Действительно, из свойства 5) обратимых матриц следует, что умножение матриц является внутренним законом композиции на множестве . Аксиома группы 1) является следствием свойства 3) умножения матриц. Единичная матрица, очевидно, обратима, так как
, откуда следует аксиома группы 2),
. Аксиома группы 3) является следствием свойства 2) обратимых матриц. ►
б) Множество является аддитивной абелевой группой, т.е. операция сложения матриц определяет на этом множестве структуру абелевой группы.
◄ Очевидно, что определенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве , а аксиомы абелевой группы являются следствием свойств 1) – 4) сложения матриц. ►
Если на множестве определены два внутренних закона композиции, которые записываются как сложение и умножение и обладают свойствами:
1) сложение определяет на структуру абелевой группы;
2) ;
3) для любых
из
,
тогда говорят, что на множестве задана структура кольца. Если при этом по умножению существует единица, это кольцо называется кольцом с единицей, а если операция умножения коммутативна, кольцо называется коммутативным.
Пример 4. а) Операции сложения и умножения чисел задают на множестве структуру коммутативного кольца с единицей.
б) Операции сложения и умножения матриц задают на множестве ,
, структуру некоммутативного кольца с единицей.
Коммутативное кольцо с единицей, в котором все отличные от нуля элементы обратимы, называется полем. Важнейшими примерами полей являются поле рациональных чисел и поле действительных чисел
.
Пусть задано непустое множество , элементы которого мы будем называть векторами, и поле
с единицей 1. Если на множестве
определены внутренний закон композиции, записываемый как сложение векторов,
,
и внешний закон композиции над полем , записываемый как умножение вектора на скаляр,
,
и эти законы обладают свойствами:
1) сложение векторов определяет на структуру абелевой группы;
2) ,
3) ,
4) ,
5) ,
тогда говорят, что на множестве задана структура линейного пространства над полем
.
Пример 5. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число задают на множестве структуру линейного пространства над полем
или кратко структуру действительного линейного пространства.
Непустое множество , на котором заданы два внутренних закона композиции (записываемых как сложение и умножение) и один внешний закон композиции над полем
(записываемый как умножение на число), называется алгеброй над полем
, если:
1) сложение и умножение задают на структуру кольца,
2) сложение и умножение на число задают на структуру линейного пространства над полем
,
3) .
Если умножение коммутативно, алгебра называется коммутативной, если умножение обладает единицей, алгебра называется алгеброй с единицей.
Пример 6. Из лекций I и II следует, что введённые там операции сложения и умножения матриц с операцией умножения матрицы на число задают на множестве при
структуру некоммутативной алгебры с единицей.
Дата добавления: 2015-11-06; просмотров: 630;