Скалярное умножение арифметических векторов

Пусть

два арифметических вектора порядка . Скалярным произведением этих векторов называется действительное число, которое обозначается и находится по правилу

(1.7)

В дальнейшем будем также считать, что скалярное произведение двух векторов-строк порядка также вводится по формуле (1.7), т.е.

Рассмотрим основные свойства скалярного умножения арифметических векторов.

1) Скалярное произведение симметрично, т.е. для любых и из .

◄ Действительно,

ввиду коммутативности операций умножения в . ►

2) Скалярное произведение аддитивно по каждому из сомножителей, т.е.

для любых из .

◄ Ввиду предыдущего свойства в доказательстве нуждается лишь одно из приведенных равенств. Покажем, например, справедливость первого равенства, где

Действительно,

. ►

3) Скалярное произведение однородно по каждому из сомножителей, т.е.

для любых действительных чисел и любых векторов и из .

Арифметический вектор является линейной комбинацией векторов , если найдутся такие действительные числа , что

. (1.8)

Из свойств 2) и 3) скалярного произведения следует, что если вектор имеет вид (1.8), тогда

для любых векторов из и любых действительных чисел . Это свойство называется свойством линейности скалярного произведения по первому сомножителю. Аналогично имеет место свойство линейности скалярного произведения по второму сомножителю. В частности, если наряду с равенством (1.8) справедливо равенство

, где , тогда

4) Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат любого арифметического вектора есть число неотрицательное, т.е. . Причём равенство выполняется лишь для .

Умножение матриц

Пусть . Для того чтобы, существовало произведение необходимо выполнение условия согласования , т.е. число столбцов матрицы должно совпадать с числом строк матрицы (или порядок строк матрицы должен совпадать с порядком столбцов матрицы ). Если условие согласования выполнено, т.е.

тогда произведение определено формулой

т.е. если , тогда

– элемент, стоящий в -ой строке и -ом столбце матрицы равен скалярному произведению -ого столбца матрицы (или транспонированной -ой строки матрицы ) на -ый столбец матрицы .

Пример 2. Пусть

Так как , то условие согласования для матрицы выполнено и

Отметим также, что произведение в данном случае не существует, так как для него не выполнено условие согласования.

Заметим, что существуют и другие способы умножения матриц, естественно, приводящие к другим результатам. Данный способ умножения матриц диктуется потребностями линейной алгебры и связан с произведением (композицией, суперпозицией) так называемых линейных преобразований. Всякое линейное преобразование определяется некоторой матрицей. Во второй части курса будет показано, что матрица произведения двух линейных преобразований равна произведению матриц этих преобразований в смысле введенного выше определения.

Рассмотрим основные свойства умножения матриц.

1) Если , тогда .

◄ Это свойство вытекает из определения произведения матриц. ►

2) Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. .

◄ Прежде всего заметим, что произведение и не всегда существуют одновременно, как это видно из примера 2. Если и существуют одновременно, т.е. , тогда , , т.е. при матрицы и разного порядка и, следовательно, несравнимы. Но даже если и, следовательно, и одного порядка, равенство , вообще говоря, не выполняется. Например,

. ►

В то же время существуют матрицы и для которых . Такие матрицы называются перестановочными. Например, матрицы

перестановочны, т.к.

Более того, существуют квадратные матрицы порядка , которые перестановочны со всеми матрицами из .

Примером такой матрицы во множестве является матрица

в чем предлагаем читателю убедиться самостоятельно.

3) Умножение матриц ассоциативно, т.е.

. (1.9)

Равенство (1.9) следует понимать так: если его левая (или правая) часть существует, тогда существует и правая (левая) часть и обе они совпадают.

Доказательство этого свойства содержится в учебнике [1], §13.

4) Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т.е.

◄ Пусть . Тогда

. ►

5) Произведение матриц однородно по каждому из сомножителей, т.е.

, где .

◄ Например,

Равенство доказывается аналогично. ►

6) Реакция произведения матриц на операцию транспонирования выражается формулой

(1.10)

◄ Пусть , тогда , , т.е. левая и правая части равенства (1.10) существуют и имеют одинаковые порядки. Далее

. ►

7) Рассмотрим множество квадратных матриц следующего вида:

Матрица называется единичной матрицей порядка .

Если , тогда матрица является её левой единицей, а матрица – правой единицей, т.е.

Если матрица квадратная и имеет порядок , тогда матрица является её двусторонней (левой и правой) единицей, т.е.

8) Напомним, что для всех действительных чисел , т.е. ноль является делителем нуля. В то же время произведение действительных чисел может равняться нулю лишь в том случае, когда по крайней мере одно из чисел или равно нулю. Иными словами, среди действительных чисел отсутствуют истинные (т.е. отличные от 0) делители нуля. В отличие от действительных чисел среди действительных матриц истинные делители существуют, т.е. найдутся такие ненулевые матрицы порядка и порядка , что .