Отношение эквивалентности .
Пусть – непустое множество произвольной природы и
– его декартов квадрат. Бинарным отношением на множестве
называется произвольное непустое подмножество
в
. бинарное отношение на множестве
можно определить указанием всех пар
, принадлежащих
, говоря при этом, что элементы
и
из множества
находятся в отношении
. Поскольку это не всегда удобно (например, если множество
бесконечно), то высказывание “
” заменяется специальными высказываниями, зависящими от контекста, например,
.
которые читаются соответственно как “ больше
”, “
равно
”, “
влечёт
”, “
эквивалентно
”
Бинарное отношение на множестве
называется отношением эквивалентности на множестве
, если оно удовлетворяет условиям:
1) для любого
,
2) если , тогда
,
3) если и
, тогда
.
Для отношения эквивалентности принято обозначение . Условия 1)‑3), называемые аксиомами отношения эквивалентности, в этом обозначении выглядят так:
1’) , (рефлексивность)
2’) , (симметричность)
3’) и
. (транзитивность)
Введение на множестве какого-нибудь отношения эквивалентности приводит к разбиению множества на классы эквивалентности, то есть к представлению этого множества в виде объединения конечного или бесконечного числа попарно непересекающихся подмножеств эквивалентных между собой элементов. Множество классов эквивалентности при этом называется фактор-множеством множества
по бинарному отношению
и обозначается
. Построение фактор-множества множества
по какому-нибудь отношению эквивалентности называется факторизацией множества
. Задача факторизации множества является математической формализацией проблемы классификации объектов, с которой мы сталкиваемся не только в любой научной области, будь то физика (элементарные частицы), химия (таблица Менделеева), медицина (вирусология), лингвистика (части речи) или геология (классификация топов пород), но и в повседневной жизни (проблемы прописки, гражданства или деления Думы на фракции).
В алгебре матриц отношения “л‑эквивалентности”, “п‑эквивалентности” и “эквивалентности”, введенные в предыдущем пункте, являются отношениями эквивалентности на множестве . Наиболее важным из них является последнее отношение, которое приводит к построению фактор-множества, в одном классе эквивалентности которого содержатся те и только те матрицы, которые строчными и столбцовыми элементарными преобразованиями приводятся к матрице
вида (1.21) с данным
. Нетрудно посчитать, что различных видов матриц
всего
. Это отношение эквивалентности в алгебре называется “одинаковый ранг” и подробно будет изучено во второй части нашего курса.
Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть фактор-множества по двум другим указанным выше отношениям эквивалентности при различных соотношениях между
и
.
Лекция V.
План
1.13 Разложение матрицы в произведение простейших
1.14 Матричные уравнения
Дата добавления: 2015-11-06; просмотров: 660;