Транспонированная матрица

Пусть матрица имеет вид (1.1). Тогда матрица

называется матрицей транспонированной к матрице . Легко заметить, что, во-первых, матрицы и имеют одинаковые главные диагонали, а во-вторых, матрицу можно получить из матрицы поворотом последней вокруг её главной диагонали на угол, равный . В частности, если

, тогда ,

и, наоборот, если

, тогда .

Отметим следующие очевидные свойства операции транспонирования матриц:

1) 2)

Если , тогда матрица называется симметрической. Из свойства 1) следует, что симметрические матрицы всегда квадратные. Примером симметрической матрицы является матрица

.

Сложение матриц

Операция сложения определена лишь для матриц одинакового размера. Именно, пусть ,

Суммой матриц и называется матрица

(1.2)

О сложении матриц говорят также, что оно осуществляется поэлементно. Как уже отмечалось выше, в процессе изучения алгебры матриц мы будем пользоваться упрощенными обозначениями и т.д., не указывая всякий раз множества возможных значений индексов и , поскольку эти значения будут ясны из контекста. Например, следующее определение суммы матриц эквивалентно вышеприведенному определению.

Пусть и – действительные матрицы одного порядка, тогда

(1.3)

Знак читается “равно по определению”, а отсутствие дополнительных указаний на возможные значения индексов и объясняется тем, что все матрицы, входящие в равенство (1.3), имеют одинаковый размер при некоторых натуральных значениях и и, следовательно, .

Операция сложения матриц обладает рядом свойств, роднящих её с операцией сложения действительных чисел.

1) Операция сложения матриц коммутативна, т.е. для любых и из

◄ Пусть . Тогда

.

Здесь на первом и пятом шагах мы воспользовались обозначением суммы матриц, на втором и четвертом – определением суммы, а на третьем шаге – принципом равенства матриц. ►

2) Операция сложения матриц ассоциативна, т.е. для любых и из

.

3) Среди всех матриц множества существует единственная матрица , обладающая свойством

(1.4)

для любой матрицы из .

◄ Рассмотрим матрицу порядка , все элементы которой равны 0. Ясно, что .

для любой матрицы из . Тем самым показано существование матрицы , обладающей нужным свойством. Для доказательства её единственности покажем, что любая матрица из , удовлетворяющая равенству (1.4) для любых из , совпадает с матрицей . Действительно, если матрица такая, как сказано выше, то одновременно выполняются равенства

и .

Используя свойство коммутативности сложения матриц, получаем, что . ►

Матрица называется нуль-матрицей, а свойство 3) – свойством существования и единственности нуль-матрицы.

4) Для любой матрицы существует единственная матрица такая, что

(1.5)

◄ Пусть , тогда . Действительно,

.

Тем самым доказано существование матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5). Для доказательства её единственности предположим существование ещё одной матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5), т.е. равенству

(1.6)

Тогда

.

В то же время,

. ►

Матрица называется матрицей, противоположной матрице , и обозначается , а свойство 4) – свойством существования и единственности противоположной матрицы. С помощью противоположной матрицы вводится определение вычитания матриц, именно

.

5) Операции сложения и транспонирования матриц связаны формулой