Властивості множини невід’ємних раціональних чисел.

7. Ми вже зазначали, що множина невід’ємних раціональних чисел є об’єднанням множини невід’ємних цілих чисел та множини додатних дробів. Розглядаючи операції над цими числами, ми сформулювали та довели наступні властивості множини невід’ємних раціональних чисел.

Властивість 1: множина Q₀ невід'ємних раціональних чисел щільна в собі.

Властивість 2: множина Q₀ невід’ємних раціональних чисел зчисленна.

Властивість 3: множина Q₀невід’ємних раціональних чисел впорядкована.

Властивість 4: множина Q₀ невід’ємних раціональних чисел замкнена відносно операції додавання.

Властивість 5: множина Q₀ невід’ємних раціональних чисел замкнена відносно операції множення.

Властивість 6: множина Q₀ невід’ємних раціональних чисел замкнена відносно операції ділення, крім ділення на нуль.

Таким чином, множина невід’ємних раціональних чисел виявилася замкненою відносно операцій додавання, множення і ділення, тобто такою, в якій ці операції завжди виконуються. Разом з тим, у множині цілих чисел операція віднімання завжди виконувалася. Щоб позбутися цієї суперечності з вимогами до розширення числових множин, слід до множини цілих чисел приєднати не тільки додатні, але й від’ємні дроби. Якщо до множини цілих чисел приєднати множину додатних і від’ємних дробів, то отримаємо множину раціональних чисел. Отже, маємо NÌZÌQ. Тепер необхідно визначити правила порівняння та операції додавання, віднімання, множення і ділення над від’ємними дробами. Зробимо це за допомогою наступних правил та означень.

Способи порівняння раціональних чисел введемо так, щоб вони не суперечили раніше прийнятим способам порівняння цілих чисел. Отже, в наступному будемо керуватися наступними правилами порівняння раціональних чисел:

1. Додатні раціональні числа порівнюються за правилами порівняння цілих чисел.

2. Кожне додатне раціональне число більше від від’ємного раціонального числа.

3. Нуль менше, ніж будь-яке додатне раціональне число.

4. Нуль більший за будь-яке від’ємне раціональне число.

5. Із двох від’ємних раціональних чисел більшим буде те, модуль якого менше.

Якщо використати числову пряму для порівняння раціональних чисел, то наведені вище правила можна звести до одного: із двох раціональних чисел більшим буде те, яке розміщене на числовій прямій правіше (із двох раціональних чисел меншим буде те, яке розміщене на числовій прямій лівіше). За допомогою вказаних правил порівняння раціональних чисел ми задали на множині цих чисел відношення рівності та більше (менше), тобто відношення порядку.

Означення 1: сумою двох раціональних чисел а і b, називається таке третє раціональне число а+b, що виконуються наступні правила: 1) сума двох раціональних чисел з однаковими знаками дорівнює сумі їх модулів, взятій із спільним знаком; 2) сума двох раціональних чисел з різними знаками дорівнює різниці модулів цих чисел, яка взята із знаком більшого модуля; 3) сума протилежних чисел дорівнює нулю; 4) додавання з нулем не змінює раціонального числа.

Означення 2: добутком двох раціональних чисел а і b, називається таке третє раціональне число аb, що виконуються наступні правила: 1) добуток двох раціональних чисел з однаковими знаками дорівнює добутку їх модулів, взятому із знаком плюс; 2) добуток двох раціональних чисел з різними знаками дорівнює добутку їх модулів, взятому із знаком мінус; 3) добуток будь-якого раціонального числа на нуль дорівнює нулю; 4) добуток будь-якого раціонального числа на одиницю дорівнює цьому раціональному числу.

Означення 3: часткою двох раціональних чисел а і b≠0, називається таке третє раціональне число а:b, що виконуються наступні правила: 1) частка двох раціональних чисел з однаковими знаками дорівнює частці їх модулів, взятій із знаком плюс; 2) частка двох раціональних чисел з різними знаками дорівнює частці їх модулів, взятій із знаком мінус; 3) частка будь-якого раціонального числа на нуль не існує; 4) частка будь-якого раціонального числа на одиницю дорівнює цьому раціональному числу; 5) частка нуля на будь-яке раціональне число дорівнює нулю.

Зазначимо, що при виконанні операцій додавання, віднімання, множення і ділення будемо користуватися сформульованими означеннями операцій над раціональними числами.