Малюнок № 10: співвідношення між числовими множинами Q, Z, N.

Перед тим, як перейти до розгляду операцій над раціональними числами та властивостей цієї множини, нагадаємо поняття модуля раціонального числа, без якого буде важко означити операції над від’ємними раціональними числами.

Означення: модулем або абсолютною величиною раціонального числа (символічно │а│) називається таке число, що виконуються умови: 1) │а│=а, якщо а≥0; 2) │а│= - а, якщо а<0.

Тепер необхідно визначити правила порівняння та операції над будь-якими раціональними числами. Зробимо це за допомогою наступних правил і означень. Способи порівняння раціональних чисел введемо так, щоб вони не суперечили раніше прийнятим способам порівняння цілих чисел. Отже, в наступному будемо керуватися наступними правилами порівняння раціональних чисел:

1. Додатні раціональні числа порівнюються за правилами порівняння цілих чисел.

2. Кожне додатне раціональне число більше від від’ємного раціонального числа.

3. Нуль менше, ніж будь-яке додатне раціональне число.

4. Нуль більший за будь-яке від’ємне раціональне число.

5. Із двох від’ємних раціональних чисел більшим буде те, модуль якого менше.

Якщо використати числову пряму для порівняння раціональних чисел, то наведені вище правила можна звести до одного: із двох раціональних чисел більшим буде те, яке розміщене на числовій прямій правіше (із двох раціональних чисел меншим буде те, яке розміщене на числовій прямій лівіше). За допомогою вказаних правил порівняння раціональних чисел ми задали на множині раціональних чисел відношення рівності та більше (менше), тобто відношення порядку. В математиці доведено, що кожному раціональному числі відповідає точка числової прямої, але не кожній точці числової прямої відповідає раціональне число. Це твердження свідчить про те, що раціональні числа не вичерпують всіх точок числової прямої.

Тепер приймемо наступні означення арифметичних операцій над раціональними числами.

Означення 1: сумою двох раціональних чисел а і b, називається таке третє раціональне число а+b, що виконуються наступні правила: 1) сума двох раціональних чисел з однаковими знаками дорівнює сумі їх модулів, взятій із спільним знаком; 2) сума двох раціональних чисел з різними знаками дорівнює різниці модулів цих чисел, яка взята із знаком більшого модуля; 3) сума протилежних чисел дорівнює нулю; 4) додавання з нулем не змінює раціонального числа.

Означення 2: добутком двох раціональних чисел а і b, називається таке третє раціональне число аb, що виконуються наступні правила: 1) добуток двох раціональних чисел з однаковими знаками дорівнює добутку їх модулів, взятому із знаком плюс; 2) добуток двох раціональних чисел з різними знаками дорівнює добутку їх модулів, взятому із знаком мінус; 3) добуток будь-якого раціонального числа на нуль дорівнює нулю; 4) добуток будь-якого раціонального числа на одиницю дорівнює цьому раціональному числу.

Означення 3: часткою двох раціональних чисел а і b≠0, називається таке третє раціональне число а:b, що виконуються наступні правила: 1) частка двох раціональних чисел з однаковими знаками дорівнює частці їх модулів, взятій із знаком плюс; 2) частка двох раціональних чисел з різними знаками дорівнює частці їх модулів, взятій із знаком мінус; 3) частка будь-якого раціонального числа на нуль не існує; 4) частка будь-якого раціонального числа на одиницю дорівнює цьому раціональному числу; 5) частка нуля на будь-яке раціональне число дорівнює нулю.

Сформулюємо наступні властивості множини раціональних чисел.

Властивість 1: множина Q раціональних чисел щільна в собі.

Властивість 2: множина Q раціональних чисел зчисленна.

Властивість 3: множина Q раціональних чисел впорядкована.

Властивість 4: множина Q раціональних чисел замкнена відносно операції додавання.

Властивість 5: множина Q раціональних чисел замкнена відносно операції віднімання.

Властивість 6: множина Q раціональних чисел замкнена відносно операції множення.

Властивість 7: множина Q раціональних чисел замкнена відносно операції ділення, крім ділення на нуль.

Таким чином, множина невід’ємних раціональних чисел виявилася замкненою відносно операцій додавання, віднімання, множення і ділення, крім ділення на нуль, тобто такою, в якій ці операції завжди виконуються.