Малюнок 1. Графік рівняння кола.

Виберемо систему координат і в ній пряму, яка проходить через початок координат. Виберемо на цій прямій точку , яка відмінна від точки . Нехай для простоти викладок точка А лежить в першій чверті (див. малюнок № 2).

Малюнок № 2. Графік рівняння у=kx.

Відношення у₁:х₁не залежить від вибору точки на прямій. Для доведення цього факту візьмемо на прямій ще одну точку . Розглянемо трикутники ОАА₁та ОВВ₁. Оскільки ці трикутники подібні, то із подібності трикутників маємо АА₁:ОА₁=ВВ₁:ОВ₁. Але АА₁=у₁, ОА₁=х₁, ВВ₁=у₂ ОВ₁=х₂. Звідси у₁:х₁=у₂:х₂. Це співвідношення і показує, що відношення у:х не залежить від вибору точки на прямій. Отже, y:х=k. Аналогічні результати ми одержимо, коли візьмемо точки в інших координатних чвертях. Число k характеризує нахил прямої до додатного напрямку осі абсцис. Це відношення дорівнює тангенсу кута між віссю абсцис та прямою . Таким чином, для будь-якої точки, що лежить на прямій, крім точки О, виконується рівність . Помноживши обидві частини рівняння на х, маємо . Це співвідношення виконується і для точки , бо . Рівняння виду у=kх називають рівнянням прямої, яка проходить через початок координат. Крім цього, k=tgα, де α – кут нахилу прямої у=kх до додатного напрямку осі абсцис.

Доведемо обернене: будь-яка точка М₁(х₁;у₁), координати якої задовольняють рівняння у=kх, належить прямій, що задається рівнянням у=kх. Дійсно на прямій у=kx завжди є точка К з абсцисою х₁, тобто К(х₁;у). Тоді ордината у цієї точки дорівнює kx₁. Отже, К(х₁; kx₁). Це означає, що у=у, тобто К і співпадають. Таким чином, точка М₁ лежить на прямій. Ми довели, що при заданому значенні k рівнянню у=kх задовольняють координати точок, які розміщені на деякій прямій лінії, яка проходить через початок координат, і не задовольняють координати точок, які не лежать на цій прямій (малюнок № 2).

Число k називають кутовим коефіцієнтом прямої.З’ясуємо, який знак має коефіцієнт k в залежності від того, де розміщена пряма? – для цього визначимо знак частки у:х. Ця частка додатна для точок, які розміщенні в І і ІІІ координатних чвертях, і від’ємна – для точок, розміщених в ІІ і ІV чвертях. Таким чином, значення k буде додатнім для прямих, які проходять в І та ІІІ чверті, а від’ємне для прямих, розміщених в ІІ та ІV чверті.

Проведемо тепер пряму, яка буде паралельна прямій y=kx і відсікатиме на осі ординат відрізок довжини b. Виберемо на цій прямій довільну точку М(х;у) і опустимо із неї перпендикуляр ММ' на вісь абсцис. Позначимо через М₁ точку перетину цього перпендикуляра з прямою у=kх. Із малюнка № 2 видно, що ММ'=ММ₁+М₁М'. Але ордината М₁М' точки М₁ дорівнює kx, а ММ₁=b. Отже, у=ММ₁=ММ₁+М₁М'=kx+b. Таким чином, ми довели, що координати будь-якої точки прямої задовольняють рівнянню у=kx+b. Отже, пряма має рівняння у=kx+b. Число b називають початковою ординатою прямої, а рівняння виду у=kx+b – рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

Розглянемо дві прямі L₁ та L₂ які не проходять через початок координат. якщо прямі паралельні, то вони будуть паралельними одній і тій же прямій, яка проходить через початок координат. Що можна сказати про кутові коефіцієнти цих прямих? – вони будуть однакові. Навпаки, якщо кутові коефіцієнти цих прямих рівні, то прямі паралельні прямій, яка проходить через початок координат. Таким чином, для того, щоб дві прямі були паралельні (якщо жодна із них не паралельна осі координат), необхідно і достатньо, щоб їх кутові коефіцієнти були рівними. Сказане символічно можна записати так: k₁=k₂.

Виведемо умову перпендикулярності двох прямих. Проведемо через початок координат дві взаємно перпендикулярні прямі у=k₁x і y=k₂x. Одна із цих прямих утворює з додатнім напрямком осі абсцис гострий кут, а друга – тупий. Тоді знаки кутових коефіцієнтів цих прямих різні, один додатній, а другий – від’ємний. На першій прямій виберемо точку М₁(х₁;у₁), а на другій – точку М₂(х₂;у₂) (див. малюнок № 3).

Малюнок № 3.

Кути M₁ON₁ і M₂ON₂рівні, а тому трикутники M₁ON₁ і M₂ON₂подібні. З подібності цих трикутників випливає пропорційність сторін. Отже, маємо │у₁:х₁│=│у₂:х₂│. Але │у₁:х₁│=│k₁│ і │у₂:х₂│=│k₂│, а тому , тобто . Оскільки k₁ та k₂ мають різні знаки, то добуток k₁k₂буде від’ємним. Саме тому маємо k₁k₂=-1. Легко переконатися в справедливості і оберненого твердження: якщо k₁k₂=-1, то прямі перпендикулярні.

Проведемо тепер дві прямі, які не проходять через початок координат. Нехай це будуть прямі y=k₁x+b₁ і y=k₂x+b₂. Оскільки кутові коефіцієнти прямих y=k₁x і y=k₂x та y=k₁x+b₁ і y=k₂x+b₂ однакові, то пряма y=k₁x і паралельна прямій y=k₁x+b₁, а пряма y=k₂x паралельна прямій y=k₂x+b₂, які перпендикулярні між собою. Отже, перпендикулярними будуть і прямі y=k₁x+b₁ і y=k₂x+b₂. Тоді умовою перпендикулярності двох прямих, заданих рівняннями з кутовими коефіцієнтами буде наступна рівність k₁k₂= -1.

Наведемо без виведення ряд рівнянь прямої, які будуть потрібні при розв’язуванні задач (див. таблицю № 1).

	рівняння пучка прямих, що проходять через точку М₀(х₀;у₀).
	рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки М₁(х₁;у₁) та М₂(х₂;у₂).
	Загальне рівняння прямої.

Таблиця № 1. Види рівнянь прямої.

Виведемо формулу кута між двома прямими y=k₁x+b₁ і y=k₂x+b₂ (див. малюнок № 4). Для цього пригадаємо, що кутовий коефіцієнт це тангенс кута нахилу прямої до осі абсцис. Із трикутника МНК видно, що , бо зовнішній кут трикутника МНК. Звідси . Отже, маємо: . Ця формула дозволяє знаходити кут між двома прямими, які задані своїми рівняннями з кутовими коефіцієнтами.

Малюнок № 4.

Якщо в загальному рівнянні прямої визначити у, то при В≠0 загальне рівняння прямої приймає вигляд . Якщо позначити - через , а через , то рівняння приймає вигляд , тобто матиме вигляд рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Якщо , то рівняння буде мати вигляд Ах+С=0 або х=а, тобто має рівняння прямої, паралельної осі ординат. Якщо А=0, то маємо рівняння Вх+С=0 або у=b, тобто рівняння прямої, паралельної осі абсцис.

Запишемо умови паралельності і перпендикулярності прямих, заданих своїми загальними рівняннями. Нехай маємо дві прямі та . Якщо і , то , . Виходячи із умови паралельності прямих , маємо або –a₁b₂=-a₂b₁. Тоді умова паралельності запишеться так: a₁b₂-a₂b₁=0. Оскільки умова перпендикулярності прямих має вигляд k₁k₂=-1, то для прямих, які задані загальними рівняннями прямої, умова перпендикулярності матиме вигляд a₁а₂+b₁b₂=0.

Нехай задано дві прямі та . Якщо ці прямі перетинаються, то координати точки перетину задовольняють обидва рівняння, а це означає, що для знаходження точки перетину двох прямих потрібно розв’язати систему рівнянь: . Пропонуємо студентам самостійно розв’язати наступні вправи, використовуючи виведені раніше формули.