Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильність нерівностей.

2. Основним загальним методом розв’язування нерівностей, як і рівнянь, є метод перетворень. Такі перетворення повинні бути тотожними або рівносильними, бо в противному випадку ми можемо втратити або одержати сторонні корені. Для того, щоб щоразу не перевіряти чи рівносильними були перетворення, в математиці доводять відповідні теореми. Спочатку введемо означення понять „розв’язок нерівності”, „множина розв’язків нерівності”, а потім доведемо теореми про рівносильність нерівностей.

Означення: розв’язком нерівності f(x)>g(x) називається таке значення х₀єX, яке перетворює нерівність із змінною в істинну числову нерівність f(х₀)>g(х₀).

Означення: сукупність усіх розв’язків нерівності прийнято називати множиною розв’язків нерівності або множиною розв’язків нерівності із змінною називається множина істинності відповідного предикату.

Означення: дві нерівності із змінними, називаються рівносильними, якщо вони задані на одній і тій самій множині і множини їх розв’язків співпадають.

Означення: дві нерівності із змінною, які задані на одній і тій самій множні, називаються рівносильними, якщо всі розв’язки однієї нерівності є розв’язками другої нерівності і навпаки.

Дві нерівності можуть бути рівносильними в одній числовій області і нерівносильними в інший числовій області.

Теорема 1: якщо вираз j(x) визначений для всіх хÎХ, то нерівність f(x)>g(x) (І) рівносильна нерівності f(x)+j(x)>g(x)+j(x) (II).

Доведення.

Для доведення теореми використаємо означення рівносильних нерівностей. Саме тому доведення складатиметься з двох частин. У першій слід показати, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (ІІ), а в другій – що кожен розв’язок нерівності (ІІ) є розв’язком нерівності (І). Нехай Т₁ÌХ є множиною розв’язків нерівності (І), а Т₂ÌХ є множиною істинності нерівності (ІІ). Виберемо довільне х₀, яке належить множині Т₁ і підставимо його у нерівність (І). Тоді вона перетвориться в істинну числову нерівність f(х₀)>g(х₀).

За умовою теореми вираз j(x) визначений при всіх хÎХ, а оскільки х₀ÎТ₁ÌХ, то підставивши його у вираз j(x), ми одержимо числовий вираз j(х₀). Виконавши у цьому виразі відповідні дії, ми одержимо число. Оскільки f(х₀)>g(х₀) ‑ істинна числова нерівність, а j(х₀) - числовий вираз, визначений для всіх хÎХ, то на основі властивостей істинних числових нерівностей нерівність f(х₀)+j(х₀)>g(х₀)+j(х₀) - буде істинною числовою нерівністю. Отже, х₀ – розв’язок нерівності (ІІ).

Значення х₀ в множині Т₁ ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якого хєТ₁. Істинну числову нерівність f(х₀)+j(х₀)>g(х₀)+j(х₀) ми можемо одержати із нерівності (ІІ), замінивши в ній х на х₀, а це означає, що х₀ є розв’язком нерівності (ІІ). Отже, наші міркування можна повторити для будь-якого х₀єТ₁. Це означає, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (ІІ), тобто Т₁ÌТ₂. Таким чином, першу частину теореми доведено.

У другій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (ІІ) є розв’язком нерівності (І). Нехай Т₁ÌХ є множиною розв’язків нерівності (І), а Т₂ÌХ є множиною істинності нерівності (ІІ). Виберемо довільне у₀, яке належить множині Т₂ і підставимо його у нерівність (ІІ). Тоді вона перетвориться в істинну числову нерівність f(у₀)+j(у₀)>g(у₀)+j(у₀). За умовою теореми вираз j(x) визначений при всіх хÎХ, а оскільки у₀ÎТ₂ÌХ, то підставивши його у вираз j(x), ми одержимо числовий вираз j(у₀). Виконавши у цьому виразі відповідні дії, ми одержимо число. Оскільки f(у₀)+j(у₀)>g(у₀)+j(у₀) ‑ істинна числова нерівність, а j(у₀) - числовий вираз, визначений для всіх хÎХ, то на основі властивостей істинних числових нерівностей нерівність f(у₀)>g(у₀) буде істинною числовою нерівністю.

Значення у₀ в множині Т₂ ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якого хєТ₂. Істинну числову нерівність f(у₀)>g(у₀) ми можемо одержати із нерівності (І), замінивши в ній х на у₀, а це означає, що у₀ є розв’язком нерівності (І). Отже, наші міркування можна повторити для будь-якого у₀єТ₂. Це означає, що кожен розв’язок нерівності (ІІ) є розв’язком нерівності (І), тобто Т₂ÌТ₁. Таким чином, другу частину теореми доведено. У першій частині ми довели, що Т₁ÌТ₂, а другій, що Т₂ÌТ₁. Тоді на основі означення рівності множин Т₁=Т₂. Це означає, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (ІІ). Таким чином, теорему доведено повністю, тобто нерівності (І) і (ІІ) рівносильні.

Теорема 2: якщо вираз j(х) визначений і набуває додатних значень при всіх хÎХ, то нерівність f(x)>g(x) (I) рівносильна нерівності f(x)·j(x)>g(x)·j(x) (III).

Доведення теореми 2 складатиметься з двох частин і проводиться аналогічно до доведення теореми 1 або теореми 3. Саме тому пропонуємо студентам довести цю теорему самостійно.

Теорема 3: Якщо вираз j(х) визначений і набуває від’ємних значень при всіх хÎХ, то нерівність f(x)>g(x) (I) рівносильна нерівності f(x)·j(x)<g(x)·j(x) (IV).

Доведення.

Доведення теореми складатиметься з двох частин. У першій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (IV). Нехай Т₁ÌХ - це множина розв’язків нерівності (І), а Т₄ÌХ - це множина розв’язків нерівності (IV). Виберемо в множині Т₁ довільне х₀ÎТ₁ і підставимо у нерівність (І). Після цього одержимо істинну числову нерівність f(х₀)>g(х₀). Підставивши х₀ у вираз j(х), ми одержимо числовий вираз j(х₀), який набуває від’ємних значень. Помножимо обидві частини істинної числової нерівності f(х₀)>g(х₀) на вираз j(х₀), що приймає лише від’ємних значень. Тоді, згідно властивостей істинних числових нерівностей, нерівність f(х₀)·j(х₀)<g(х₀)·j(х₀) буде істинною числовою нерівністю. Ми можемо одержати її з нерівності (IV), замінивши в ній х на х₀. Це означає, що х₀ є розв’язком нерівності (IV), тобто х₀ÎТ₄. Оскільки значення х₀ÎТ₁ ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елемента цієї множини. А це означає, що кожен елемент множини Т₁, тобто кожен розв’язок нерівності (І), є елементом множини Т₄, тобто є розв’язком нерівності (ІУ). Отже, на основі означення підмножини маємо: Т₁ÌТ₄. Першу частину теореми доведено.

У другій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (IV) є розв’язком нерівності (І). Виберемо довільне y₀єТ₄ÌХ і підставимо його у нерівність (IV). Тоді одержимо істинну числову нерівність f(y₀)·j(y₀)<g(y₀)·j(y₀). Оскільки j(y₀) - це числовий вираз, що приймає від’ємних значень для всіх у₀ÎХ. Поділивши на нього обидві частини нерівності f(y₀)·j(y₀)<g(y₀)·j(y₀), ми одержимо істинну числову нерівність f(y₀)>g(y₀) (Чому?). Цю нерівність f(y₀)>g(y₀) можна одержати з нерівності (І), замінивши х на y₀. Отже, y₀ є розв’язком нерівності (І). Оскільки y₀єТ₄ ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елементу y₀єТ₄. Це означає, що кожен елемент множини Т₄ є елементом множини Т₁, тобто Т₄ÌТ₁.

Таким чином, у першій частині ми довели, що Т₁ÌТ₄., а в другій – що Т₄ÌТ₁. На основі означення рівності множин це означає, що Т₁=Т₄. Отже, ми показали, що множини розв’язків нерівностей (І) і (ІV) співпадають. Оскільки вони задані на одній множині Х, то ці нерівності рівносильні. Теорему доведено повністю.