Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей (см. 1.8) и, конечно, использованием аксиоматической вероятности (см. 1.9, замечание).

Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, предполагают, что игральный кубик имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлен из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие, в частности статистическое определение.

Пусть, в результате проведения n опытов событие А появилось с частотой r(A) = m/n. Практика показывает, что частота события А с увеличением числа опытов n стабилизируется, т.е. стремится к некоторому пределу.

Статистической (эмпирической) вероятностью события А называют число Р(А), к которому стремится частота r(A) события А при неограниченном увеличении числа n опытов, т.е.

Так как на практике неограниченное число опытов невозможно реализовать, в качестве статистической вероятности принимают относительную частоту или число, близкое к ней при достаточно большом числе испытаний. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события (пример *).

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения (см. 1.3), сохраняются и при статистическом определении вероятности. Действительно:

1) если событие достоверно, то т = п и относительная частота

т/п = n/n = 1,

т. е. статистическая вероятность достоверного события (так же как и в случае классического определения) равна единице.

2) если событие невозможно, то m = 0 и, следовательно, относительная частота 0/n = 0,

т. е. статистическая вероятность невозможного события равна нулю.

3) для любого события 0≤ т ≤ п и, следовательно, относительная частота

0≤ т/п ≤1

т. е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Для существования статистической вероятности события А требуется:

а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления события А в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Недостатком статистической вероятности является неоднозначность статистической вероятности; так, в приведенном примере (*) в качестве вероятности события можно принять не только 0,4, но и 0,39; 0,41 и т. д.