КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
Основная задача гидромеханики – изучение движущейся жидкости.
Она при этом рассматривается как сплошная среда, без разрывов и пустот. Основными параметрами движения являются давление и скорость. Давление в движущейся жидкости называется гидродинамическим. В идеальной жидкости величина гидродинамического давления в точке, как и у гидростатического, не зависит от направления и является скалярной величиной. В вязкой жидкости из-за влияния касательных напряжений . Однако, в гидромеханике доказывается, что сумма в данной точке постоянна и не зависит от направления; поэтому полагают, что гидродинамическое давление в точке равно среднему из проекций на координатные оси и представляет собой также скалярную величину, то - есть . Если параметры движения − функции только координат точки, то - есть если , движение называется установившимся. Если (p и зависят еще от времени), движение называется неустановившимся. Поскольку жидкость – непрерывная среда, функции p и также непрерывны.
Кинематика изучает законы изменения скорости ; общие же закономерности изменения давления и скорости изучает гидродинамика.
При изучении движущейся жидкости применяются два метода –Лагранжа и Эйлера.
Рис.3.1. Два метода изучения движущейся жидкости:
a − метод Лагранжа; b – метод Эйлера
В методе Лагранжа изучается движение каждой жидкой частицы
(рис. 3.1, а). В момент времени t0 она находится в точке А с координатами x0 ,
y0 , z0 ; в момент tk − в точке В с координатами xk , yk , zk . Проекции скорости частицы на координатные оси записываются как
.
Если известны функции , то, проинтегрировав, получим:
; ; .
Итогом расчета является траектория частицы; она будет зависеть от времени t иначальных координат точки x0 , y0 , z0 .
В методе Эйлера определяются поля скоростей в заданном пространстве, занятом жидкостью (рис. 3.1, b), в данный момент времени, то - есть
; ; .
Метод Эйлера оказывается в большинстве случаев более плодотворным, поэтому он является основным в кинематике и динамике жидкости.
Основные понятия и определения кинематики жидкости
Линией токаназывается линия, проходящая через последовательно движущиеся одна за другой частицы жидкости в данный момент времени.
В каждой точке линии тока вектор скорости касателен к ней ( рис. 3.2, а).
Линия тока и траектория в общем случае − различные кривые и совпадают только при установившемся движении. Поскольку в каждой точке линии тока вектор скорости касателен к ней, то бесконечно малый элемент кривой ds и вектор скорости в данной точке можно рассматривать как параллельные прямые.
Рис.3.2.К основным понятиям кинематики жидкости:
а – линия тока; b – элементарная струйка; с − поток
Условие параллельности вектора ds с проекциями dx,dy,dz и вектора скорости с проекциями ux , uy , uz можно записать как:
. (3.1)
Это выражение − уравнение линии тока.
Проведем в какой – либо точке линии тока элементарную площадку dω, перпендикулярную к линии тока (рис. 3.2, b). Она называется живым
сечением. Через каждую точку контура живого сечения проведем линии тока. Образованная этими линиями тока криволинейная цилиндрическая поверхность называется трубкой тока . Жидкость, заполняющая трубку тока, называется элементарной струйкой. При установившемся движении элементарная струйка обладает следующими свойствами:
· во всех точках данного живого сечения скорость можно считать одинаковой;
· соседние элементарные струйки не пересекаются и не перемешиваются;
· с течением времени форма элементарной струйки не изменяется.
Потоком жидкости называется вся совокупность элементарных струек, протекающих по данному каналу. Живым сечением потока называется часть его поперечного сечения, занятая жидкостью. В отличие от элементарной струйки, скорость по сечению потока переменна (рис. 3.2, с).
Потоки бывают напорными и безнапорными. Напорные потоки возникают при движении жидкости в условиях избыточного давления; живое сечение трубопровода полностью заполнено жидкостью; с окружающей средой жидкость сообщения не имеет. Безнапорные потоки возникают при движении жидкости за счет собственного веса − это движение в открытых каналах, имеющих уклон. Жидкость при этом имеет свободную поверхность, граничащую с окружающей средой.
Плавно изменяющееся движение потока − такое, при котором кривизна линий тока мала, угол расхождения между ними также мал. В этом случае сечение потока можно считать плоским.
Одномерныминазываются такие потоки, параметры которых (скорость и давление) зависят только от одной координаты (например, от продольной координаты x). Двумерным или плоским потоком называется такой, у которого параметры зависят от двух координат − продольной и одной из поперечных (например, x и z). У трехмерного потока параметры движения − функции трех координат. Если у трехмерного потока параметры в двух поперечных координатах изменяются одинаково, поток называетсяосесимметричным.
Объемным расходомили просто расходом Q называется объем жидкости, протекающей через живое сечение потока в единицу времени: , м3/с. Если речь идет о расходе элементарной струйки за бесконечно малый отрезок времени dt, то можно записать: .
Связь между скоростью и расходом. Рассмотрим вначале элементарную
струйку (рис. 3.3, а). В живом сечении dω1 скорость равна u.
Рис.3.3. Связь между скоростью и расходом:
a , b – для элементарной струйки; c – для потока
Пусть за время dt жидкость, находящаяся в живом сечении dω1 , пройдет путь ds и окажется в сечении dω2 . Ввиду малости ds можно считать, что площадь не изменилась, то - есть dω1 = dω2 = dω . Объем жидкости, прошедший за dt через dω1 , равен объему цилиндра: dW = ds∙dω. Разделим обе части этого выражения на dt:
.
Так как , а , то получим связь между скоростью и расходом
для элементарной струйки:
. (3.2)
Расход через сечение потока ω (рис. 3.3, с) можно найти, просуммировав
(то - есть проинтегрировав) расходы всех элементарных струек потока по всей
площади живого сечения:
. (3.3)
Для интегрирования необходимо знать закон изменения скорости по сечению потока (математическое описание подинтегральной функции u).
Для решения многих практических задач знание всей эпюры скоростей необязательно − достаточно знать среднюю скорость V потока в сечении .
Средней скоростью потока в данном сечении называется такая фиктивная скорость V, постоянная по всему сечению, при которой расход через данное сечение равен истинному, определяемому интегралом (3.3).
Заменим в выражении (3.3) u на V. Поскольку V = const, V можно вынести за знак интеграла и получить
Q = V∙ω . (3.4)
Это выражение определяет связь между расходом и средней скоростью для потока.
Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 3563;