Обробка результатів непрямих вимірів

Розглянемо послідовність вимірів і обробки результатів вимірювання на конкретному прикладі. Нехай потрібно визначити густину невеликого металевого циліндра (рис.1.3):

Рис. 1.3

Густина матеріалу , з якого виготовлений циліндр, обчислюється за формулою:

,

де - маса, а - об’єм циліндра.

Якщо - висота, а - діаметр циліндра, то його об’єм:

.

Отже, основна розрахункова формула для визначення густини:

. (1)

Послідовність визначення густини може бути наступною.

Виконуються прямі виміри маси , діаметра і висоти циліндра за методикою, розглянутою в 1.2. Наприклад, маса вимірюється 3-5 разів за допомогою терезів. За результатами вимірювань і подальшої їх обробки отримують значення маси , де - середнє значення маси, а - середня абсолютна похибка визначення маси.

Використовуючи штангенциркуль (або мікрометр) аналогічно проводять вимірювання і отримують значення діаметра і висоти , де , - відповідні середні значення, а і - відповідні середні абсолютні похибки.

Після цього починають послідовність обрахунків густини і відповідних похибок, яку називають обробкою результатів при непрямих вимірах.

1. За розрахунковою формулою визначається середнє значення густини:

.

2. Слід звернути увагу, що в формулу для непрямого визначення густини підставляються величини, що знайдені при прямих вимірах ( ). Тому похибка непрямого виміру повинна знаходитися через похибки прямих вимірів.

Використовуючи математичний апарат диференціального обчислення, можна показати, що при непрямих вимірах зручніше спочатку знайти відносну похибку: , а потім обчислити середню абсолютну похибку .

Виявляється, що відносна похибка результату дорівнює повному диференціалу натурального логарифма функції, яка визначає залежність даної величини від виміряних величин.

Тому відносну похибку слід обчислювати в такій послідовності:

а) прологарифмувати розрахункову формулу:

.

б) знайти повний диференціал логарифма :

. (2)

в) диференціали в отриманому виразі замінити середніми абсолютними похибками : , , , а величини середніми значеннями

В самому несприятливому випадку всі похибки виміряних величин відхиляються в один бік. При цьому результуюча похибка стає найбільшою з можливих. Хоча це і малоймовірний випадок, але надійність результату буде максимальною. Тому знаки « – » у формулі (2) замінюємо на « + ».

Враховуючи вище сказане, найбільшу відносну похибку вимірювання густини можна знайти за формулою:

.

3) Середню абсолютну похибку можна знайти після обчислення відносної похибки за формулою:

.

4) Результат вимірювання записується у вигляді:

, .

Запис результатів

Дуже важливо вміти правильно записувати результати вимірювань, оскільки кінцевий запис несе інформацію як про саму фізичну величину так і про точність з якою вона виміряна. Наприклад, запис результату вимірювання маси m=(0,826±0,003)г означає, що в результаті вимірювання маси тіла знайдене значення 0,826 г з абсолютною похибкою 0,003 г.

Слід підкреслити, що спочатку треба визначити і записати похибку вимірювання, а лише потім записати значення величини, що вимірюється.

При запису похибкислід заокруглювати її величину до двох значущих цифр, якщо перша з них є одиниця, і до однієї значущої цифри в усіх інших випадках.

Наприклад, правильно писати ±3; ±0,2; ±0,08; ±0,14; не слід писати ±3,2; ±0,23; ±0,081; ±0,143. Не слід також заокруглювати ±0,14 до ±0,1.

При запису середнього значенняпісля коми залишається стільки цифр, скільки їх використано при запису похибки.

Наприклад, той самий результат, в залежності від похибки записується у вигляді: 1,2±0,3; 1,27±0,04; 1,271±0,012.