Теоремы Лапласа
Выше мы рассмотрели формулу Бернулли, которая позволяет находить вероятность появления события в 
испытаниях 
раз. Эту формулу удобно использовать в тех случаях, когда число испытаний невелико. Если же, например, надо найти P50(30), то в этом случае сталкиваемся с вычислением 
. Но даже не все современные калькуляторы могут вычислить это значение. При использовании стандартной записи числа приходится делать округления, отбрасывая значащие цифры, что приводит в процессе вычислений к накоплению погрешностей.
Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.
Заметим, что для частного случая, а именно для p=1/2, асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного p, отличного от 0 и 1. Поэтому теорему, о которой здесь идет речь иногда называют теоремой Муавра – Лапласа.
Мы приведем только формулировку этой теоремы, опуская ее доказательство.
Теорема 5.1 (локальная теорема Лапласа).
Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянно и отличается от нуля и единицы, то вероятность Pn(k) того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n):
, где 
. (5.2)
Функция 
называется малой функций Лапласа. Значения функции j(x), соответствующие положительному значению аргумента 
, определяется из соответствующей таблицы. Для отрицательных значений аргумента пользуются той же таблицей, так как j(x) четная функция, т.е. 
.
Вновь предположим, что производится испытаний, в каждом из которых вероятность появления события 
постоянна и равна 
. Как вычислить вероятность 
того, что событие появится в n испытаниях не менее 
и не более 
раз (для краткости будем говорить «от до раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим, опустив доказательство.
Теорема 5.2 (интегральная теорема Лапласа).
Если вероятность 
появления события в каждом испытании постоянно и отличается от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в n испытаниях от до раз, приближенно равна:
, где 
. (5.3)
Функция 
называется функций Лапласа. Значения функции F(x), соответствующие положительному значению аргумента и 
, определяется из соответствующей таблицы. Для отрицательных значений аргумента можно пользоваться той же таблицей, так как F(x) нечетная функция, т.е. 
. В таблице приводятся значения лишь до 
. При 
можно принять 
.
Замечание. Локальной и интегральной теоремами Лапласа на практике удобно пользоваться в случае, если npq>10. Если же npq<10, то эти формулы приводят к большим погрешностям.
Пример 5.2. Вероятность появления события A в каждом из 900 независимых испытаний равна p=0,8. Найти вероятность того, что событие A произойдет:
а) 750 раз;
б) не менее 710 раз и не более 740 раз.
Решение. а) Из условия следует, что n=900, k=750, p=0,8, поэтому q=0,2. Поскольку npq=900×0,8×0,2=144>10, то можно воспользоваться локальной теоремой Лапласа.
Находим x:
.
По таблице значений функции находим j(2,5)=0,0175.
Согласно локальной теореме Лапласа получаем искомую вероятность:
.
б) Из условия следует, что n=900, k1=710, k2=740, p=0,8, поэтому q=0,2. Находим x1 и x2:
;
.
По таблице значений функции Лапласа, учитывая нечетность функции, определяем
F(x1)=F(-0,83)= - 0,2967;
F(x2)=F(1,67)=0,4525.
Согласно интегральной теореме Лапласа получаем искомую вероятность:
.
,
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 1282;