Метод последовательного дифференцирования
Рассмотрим уравнение
(9.1)
с начальными условиями 
. Предположим, что искомое частное решение 
может быть разложено в ряд Тейлора по степеням разности 
:
Начальные условия непосредственно дают нам значения 
при 
. Значение 
найдем из уравнения (9.1), подставляя 
и используя начальные условия:
.
Значения 
последовательно определяются дифференцированием уравнения (9.1) и подстановкой , 
при 
.
Доказано, что если правая часть уравнения (9.1) в окрестности точки 
есть аналитическая функция своих аргументов, то при значениях x, достаточно близких к 
, существует единственное решение задачи Коши, которое разлагается в ряд Тейлора. Тогда частичная сумма этого ряда будет приближенным решением поставленной задачи.
Аналогично применяется метод последовательного дифференцирования и для решения систем дифференциальных уравнений.
Пример 9.1 Найти первые семь членов разложения в степенной ряд решения уравнения y''+0.1(y')2+(1+0.1x)y = 0 с начальными условиями y(0)=1, y'(0)=2
Решение уравнения ищем в виде ряда
Непосредственно из начальных условий имеем y(0)=1, y'(0)=2
Разрешим уравнение относительно y'';
y''=-0.1(y')2-(1+0.1x)
используя начальные условия, получим
y''(0)=-0.1·4-1·1=-1.4
Дифференцируем по x обе части уравнения последовательно получим:
y'''=0.2 y'· y''-0.1(xy'+ y)- y' y'''(0)=-1.54
y(4)=-0.2(y' y'''+( y'')2)-0.1(xy''+2 y')- y'' y(4)(0)=1.224
y(5)= -0.2(y'· y(4)+3 y'' y''') -0.1(xy'''+3 y'')- y''' y(5)(0)=0.1768
y(6)(0)= -0.2(y'· y(5)+4 y'' y(4)+3(y''')2)-0.1(x y(4)+4 y''')- y(4) y(6)(0) =-0.7308
Искомое решение приближенно запишется в виде:
y(x)≈1+2x-0.7x2-0.2567x3+0.051x4+0.00147x5-0.00101x6
Пример 9.2. Найти первые четыре члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) z=z(x) системы с начальными условиями y(0)=1 z(0)=0
Функции y(x) и z(x) ищем в виде степенных рядов
при х=0 из уравнений системы следует, что y(0)'=1, z(0)'=0
Дифференцируем по х уравнения системы.
Находим y''(0)=1, z''(0)=1
Продифференцируем по х уравнения системы еще раз.
y''' (0)=0, z'''(0)=3
Подставляя найденные значения производных в ряды, получим:
y(x)≈1+x-0.5x2, z(x)≈ 0.5x2-0.5x3
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 782;