Метод последовательных приближений.
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка
с начальным условием . Решение этой задачи эквивалентно решению интегрального уравнения
Метод последовательных приближений состоит в том, что решение получают как предел последовательности функций , которые находятся по рекуррентной формуле
.
Доказано, если правая часть в некотором замкнутом прямоугольнике удовлетворяет условию Липшица по y:
,
то независимо от выбора начальной функции последовательные приближения сходятся на некотором отрезке к решению задачи Коши.
Если f(x,y) непрерывна в прямоугольнике R, то оценка погрешности дается неравенством
,
где , а число h определяется из условия
.
В качестве начального приближения можно взять любую функцию, достаточно близкую к точному решению.
Пример 9.3. Найти три последовательных приближения решения уравнения
y'=x2+y2 с начальным условием y(0)=0.
Учитывая начальное условие, заменяем уравнение интегральным
В качестве начального приближения возьмем y0(x)≡0
Первое приближение находим по формуле
Аналогично получим второе и третье приближения:
На практике количество приближений выбирают так, чтобы yn и yn-1 приближения совпадали в пределах допустимой точности. Для n=3 и
y3 вычислено с точностью порядка 0.001.
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 696;