Метод Эйлера. Рассмотрим дифференциальное уравнение

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(9.6)

с начальным условием . Выбрав достаточно малый шаг h, построим систему равноотстоящих точек .

В методе Эйлера приближенные значения вычисляются по формулам . При этом искомая интегральная кривая , проходящая через точку , заменяется ломанной с вершинами ; каждое звено этой ломанной, имеет направление той интегральной кривой уравнения , которая проходит через точку .

Если правая часть уравнения в некотором замкнутом прямоугольнике удовлетворяет условиям

,

,

то имеет место следующая оценка погрешности:

,

где - значение точного решения уравнения при , а - приближенное значение, полученное на n-м шаге в этой же точке.

На практике, для оценки точности полученных результатов, применяют двойной пересчет: расчет повторяют с шагом и погрешность более точного значения в точке оценивают приближенно так:

Пример 9.5. Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений решения дифференциального уравнения с начальным условием y(0)=2 на отрезке [0;0.5] с шагом h с точностью до трёх знаков. Выполним это задание в Mathcad

Разделим промежуток интегрирования на 2n частей и

пересчитаем значения y_i с новым шагом h/2

Решением уравнения является таблица значений у_i , найденных в точках отрезка [0;0.5] с шагом h=0,01 с точностью до трёх знаков.

Рис 9.1 Решение примера 9.5 в Mathcad методом Эйлера