Дифференциальных уравнений

Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка:

(9.1)

заключается в отыскании функции , удовлетворяющей этому уравнению с начальными условиями:

,

где - заданные числа.

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений

(9.2)

заключается в отыскании функций , удовлетворяющих этой системе и начальным условиям

.

Систему, содержащую производные высших порядков и разрешенную относительно старших производных искомых функций, путем введения новых неизвестных функций можно привести в виду (9.2). В частности, дифференциальное уравнение n-го порядка

приводится к виду (9.1) с помощью замены переменных

,

что дает следующую систему

Если удается найти общее решение системы или уравнения, то задача Коши сводится к отысканию значений произвольных постоянных. Но найти общее решение задачи Коши удается в редких случаях, чаще приходится решать задачу приближенно.

Приближенные методы в зависимости от формы, в которой они представляют решение, можно разделить на две группы.

1. Аналитические методы, дающие приближенное решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения.

2. Численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.

В дальнейшем будем считать, что для рассматриваемых уравнений выполнены условия существования и единственности решения.