Квадратурная формула Гаусса
Полиномы вида называются полиномами Лежандра.
Свойства этих полиномов:
1. , ;
2. , где - любой полином степени k, меньшей n;
3. полином Лежандра имеет n различных и действительных корней, которые расположены на интервале .
Первые пять полиномов Лежандра:
Рассмотрим функцию , заданную на стандартном промежутке . Нужно подобрать точки и коэффициенты , чтобы квадратурная формула
(8.14)
была точной для всех полиномов возможной наивысшей степени N. Так как в нашем распоряжении имеются 2n постоянных и , а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами, то эта наивысшая степень полинома в общем случае равна N=2n-1.
Для обеспечения равенства (8.14) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при . Действительно, полагая и , будем иметь .
Таким образом, учитывая соотношения , заключаем, что для решения поставленной задачи достаточно определить постоянные и из системы 2n уравнений:
(8.15)
Система (8.15) нелинейная, и ее решение обычным путем представляет большие трудности.
Рассмотрим полиномы , где - полином Лежандра. Т.к. степени этих полиномов не превышают 2n-1, то на основании системы (8.15) для них должны быть справедлива формула (8.14) и .
С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов Лежандра выполнены неравенства:
при ,
поэтому
(8.16).
Равенства (8.16) будут обеспечены при любых значениях , если положить , т.е. для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (8.14) в качестве точек достаточно взять нули соответствующего полинома Лежандра. Как известно, из свойства 3, эти нули действительны, различны и расположены на интервале . Зная абсциссы , легко можно найти из линейной системы первых n уравнений системы (8.15) коэффициенты Аi (i = 1, 2, …, n). Определитель этой подсистемы есть определитель Вандермонда
и, следовательно, определяются однозначно.
Формула (8.14), где - нули полинома Лежандра и определяются из системы (8.15), называется квадратурной формулой Гаусса.
Рассмотрим теперь использование квадратурной формулы Гаусса для вычисления общего интеграла . Делая замену переменной , получим . Применяя к последнему интегралу, квадратурную формулу Гаусса получим:
, (8.16)
где , - нули полинома Лежандра , т.е. .
Остаточный член формулы Гаусса (8.16) с n узлами выражается следующим образом:
.
Отсюда получаем:
,
,
,
,
.
Выведем квадратурную формулу Гаусса для случая трех ординат. Полином Лежандра третьей степени есть
.
Приравнивая этот полином нулю, находим:
, , .
Для определения коэффициентов в силу системы (8.15) имеем:
Отсюда: , .
Следовательно, .
Таблица 8.2
Элементы формулы Гаусса
n | t | ti | Ai |
1;2 | ±0.57735027 | ||
1;3 | ±0.77459667 | 0.55555556 0.88888889 | |
4;1 3;2 | ±0.86113631 ±0.33998104 | 0.34785484 0.65214516 | |
5;1 4;2 | ±0.90617985 ±0.53846931 | 0.23692688 0.47862868 0.56888889 | |
6;1 5;2 4;3 | ±0.93246951 ±0.66120939 ±0.23861919 | 0.17132450 0.36076158 0.46791394 | |
7;1 6;2 5;3 | ±0.94910791 ±0.74153119 ±0.40584515 | 0.12948496 0.27970540 0.38183006 0.41795918 |
Пример 8.4 Вычислить интеграл из примера 8.3. по формуле Гаусса для четырех и для пяти точек. Оценить точность вычислений.
Метод Гаусса для 4 точек |
Метод Гаусса для 5 точек |
В ответе сохраняем шесть верных знаков.
Ответ: 0,423195
Рис. 8.4. Решение примера 8.3 в Mathcad
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 2272;