Общая формула Симпсона и ее остаточный член
Пусть n=2m есть четное число и - значения функции для равноотстоящих точек с шагом . Применяя формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку длины 2h, будем иметь .
Следовательно, .
Отсюда получаем общую формулу Симпсона:
.
Введя обозначения , формулу можно записать в более простом виде:
.
Если функция непрерывно дифференцируема до четвертого порядка, то ошибка формулы Симпсона на каждом удвоенном промежутке дается формулой:
, где .
Суммируя все эти ошибки, получим остаточный член общей формулы Симпсона в виде:
.
непрерывна на отрезке [a,b], поэтому найдется точка такая, что .
Следовательно
, (8.9)
где .
Если задана предельная допустимая погрешность , то, обозначив , будем иметь для определения шага h неравенство:
, отсюда , т.е. h имеет порядок . Говорят, что степень точности метода Симпсона равна четырем
Во многих случаях оценка погрешности квадратурной формулы весьма затруднительна. Тогда обычно применяют двойной пересчет с шагами h и 2h и считают, что совпадающие десятичные знаки принадлежат точному значению интеграла.
Предполагая, что на отрезке [a,b] производная меняется медленно, в силу формулы (8.9), получаем приближенное выражение для искомой ошибки
, где коэффициент M будем считать постоянным на промежутке интегрирования. Пусть и - приближенные значения интеграла , полученные по формуле Симпсона соответственно с шагом h и H=2h. Имеем: и . Отсюда
.
За приближенное значение интеграла целесообразно принять исправленное значение
.
Пример 8.2 Вычислить в Mathcad интеграл методом Симпсона для n=8. Оценить остаточный член.
Вычисляем для формулы Симпсона при n=4
Сделаем двойной пересчет при n=8
В качестве ответа возьмем
Остаточный член приблизительно равен
Это точный результат
Рис. 8.3. Решение примера 8.2 в Mathcad
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 618;