Общая формула трапеций и ее остаточный член

Рис 8.1. Общая формула трапеций

Для вычисления интеграла разделим промежуток интегрирования [a,b] на n равных частей и к каждому из них применим формулу трапеций (8.4).

Положим и обозначим через значения подынтегральной функции в точках x_i тогда: , или

. (8.5)

Геометрически формула (8.5) получается в результате замены графика подынтегральной функции ломаной линией.

Oстаточный член общей формулы трапеций (8.5) равен:

где . (8.6)

Рассмотрим среднее арифметическое значение второй производной на отрезке [a,b] по всем промежуткам

(8.7)

Очевидно, m заключается между наименьшим m₂ и наибольшим M₂ значениями второй производной на отрезке [a,b], т.е. .

В силу непрерывности на отрезке [a,b], она принимает все значения от m₂ до M₂. Значит, существует точка ξ, такая что μ=f''(ξ). Из формул (8.6) и (8.7) получим:

(8.8)

где

Пример 8.1. Выполнено в Mathcad

Вычислить интеграл

по методу трапеций с тремя десятичными знаками.

Сначала для сравнения покажем результат, вычисленный в Mathcad стандартным способом с тремя верными цифрами после запятой.

В Mathcad числа могут быть вычислены с 17 десятичными знаками, поэтому не будем учитывать погрешности вычислений и тогда погрешность метода ε=0,0005. Для достижения заданной точности решим неравенство

Подставляем в формулу h и решаем неравенство относительно n:

Для всех натуральных значений "n" больших , чем полученный корень, остаточный член формулы трапеций будет меньше заданной точности e

Рис. 8.2. Решение примера 8.1 в Mathcad

Рис 8.2. Формула Симпсона

Найдем коэффициенты -Котеса для n=1

.

Подставим в формулу (8.3)

.

Если подынтегральная функция четырежды дифференцируема, то остаточный член квадратурной формулы Симпсонаравен: