Метод наименьших квадратов для полиномов
Мы рассматривали функции, зависящие от двух параметров. Предположим, что аппроксимирующая функция имеет вид квадратичной зависимости: .
Аналогично линейной зависимости составим функцию
, где ( -табличное значение, - эмпирическая формула).
Возьмем частные производные по a,b и c
И приравняем их к нулю
Получим нормальную систему уравнений.
-
Решив нормальную систему относительно неизвестных a,b,с, найдём значения параметров приближающей функции.
Если аппроксимирующая функция является многочленом более высокого порядка “n”, то суть подхода к решению задачи не изменится, а увеличится только число уравнений системы.
Пример 7.2.
Данные предыдущего примера 7.1 аппроксимируем квадратичной зависимостью: . Напомним условие примера
Задание матрицы коэффициентов нормальной системы и столбца ее свободных членов |
Решение нормальной системы |
сумма квадратов отклонений |
среднеквадратичное отклонение |
Рис. 7.3. Решение примера 7.2 в Mathcad
Поскольку величина суммы квадратов отклонений для квадратичной зависимости получилась больше, чем у найденной ранее степенной функции, в данном примере предпочтительнее степенная функция.
Если аппроксимирующая функция является многочленом более высокого порядка “n”, то суть подхода к решению задачи не изменится, а увеличится только число уравнений системы.
Для построения аппроксимирующей зависимости в виде многочлена в Mathcad можно воспользоваться встроенными функциями regress и interp. Функция regress(x,y,k) возвращает вектор коэффициентов полиномов k-й степени, подобранного методом наименьших квадратов по экспериментальным точкам x и y(x -массив абсцисс, y- массив ординат). Элементы массива x должны быть упорядочены по возрастанию.
Пример 7.3
Продолжим вычисления с данными примера 7.1:
Сумма квадратов отклонений. |
Среднеквадратичное отклонение |
Естественно, результаты такие же, как в примере 7.2
Сумма квадратов отклонений измеренных значений от вычисленных |
среднеквадратичное отклонение |
Для кубической параболы получился самый хороший результат
Графики практически совпадают, поэтому не имеет смысла брать приближающий многочлен более высокого порядка.
Рис. 7.4. Решение примера 7.2 в Mathcad
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 586;