Точечные множества в n-мерном пространстве

Функции многих переменных

Множество всевозможных упорядоченных совокупностей n вещественных чисел (х₁, х₂, …х_n) называютn-мерным координатным пространством. Каждую такую совокупность называю точкой n-мерного пространства, а сами числа – ее координатами.

Например, плоскость – двумерное координатное пространство, в котором любая совокупность двух вещественных чисел определяет точку (координаты точки на плоскости можно обозначить (х₁, х₂), а не только (х, у), как это было принято при изучении курса планиметрии в рамках школьной программы). Прямая – одномерное координатное пространство. Координаты точки в трехмерном пространстве можно обозначить (х₁, х₂, х₃) или (х, у, z). Для координат можно использовать различные обозначения, но при этом число координат должно соответствовать размерности пространства (т.е. в двумерном пространстве – две координаты, на прямой – одна координата, в трехмерном пространстве – три координаты, в десятимерном – десять координат и т.д.). Отметим, что если пространства размерности до трех включительно можно зрительно представить себе и даже изобразить, то пространства большей размерности представляют собой научную абстракцию.

N-мерное координатное пространство называют евклидовым, если между двумя любыми его точками X⁽¹⁾ = (х₁⁽¹⁾, х₂⁽¹⁾, …х_n⁽¹⁾) и X⁽²⁾ = (х₁⁽²⁾, х₂⁽²⁾, …х_n⁽²⁾) определено расстояние, определяющееся соотношением (более подробно понятие расстояния изучается в курсе линейной алгебры).

Множество всех точек n-мерного пространства, удаленных от заданной точки X⁽⁰⁾ = (х₁⁽⁰⁾, х₂⁽⁰⁾, …х_n⁽⁰⁾) на расстояние, меньшее R, называют открытым n–мерным шаром радиуса R с центром в точке X⁽⁰⁾., т.е. для всех точек открытого шара .

Если это неравенство выполняется, как нестрогое (т.е. расстояние не больше R: ), то шар называют замкнутым, или просто шаром.

Множество всех точек пространства, равноудаленных от заданной точки, называют сферой с центром в заданной точке, т.е. для любой точки сферы , где R – радиус сферы.

Например, замкнутый шар на плоскости представляет собой круг, т.е. множество точек, удаленных от центра на расстояние, не большее радиуса. Сфера на плоскости представляет собой окружность. Замкнутый шар на прямой – это отрезок (центр – его середина, радиус – половина длины). Сфера – концы этого отрезка. В трехмерном пространстве шар и сферу легко представить себе визуально. В пространствах большей размерности они представляют собой научную абстракцию.

Следует отметить, что если к открытому шару присоединить сферу того же радиуса с тем же центром, то будет получен замкнутый шар. Например, круг на плоскости – это открытый круг вместе с окружностью.

Всякий шар, содержащий точку X⁽⁰⁾, называется окрестностью
точки X⁽⁰⁾. Открытый шар радиуса e > 0 с центром в точке X⁽⁰⁾ называют e-окрестностью точки X⁽⁰⁾.

Например, на прямой всякий интервал, содержащий точку, называется окрестностью этой точки. Интервал с серединой в данной точке длиной 2e называется e-окрестностью точки. На плоскости всякий круг, содержащий данную точку, является ее окрестностью. Открытый круг радиуса e с центром в данной точке - e-окрестность точки.

Точки, в любой e-окрестности которых содержатся точки, как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему, называются граничными. Например, для шара любая точка соответствующей сферы (с тем же центром и радиусом) является граничной. Если множество содержит все свои граничные точки, оно называется замкнутым. В частности, в этом отличие замкнутого шара от открытого: открытый шар не содержит свои граничные точки.

Точка является внутренней для некоторого множества, если существует некоторая ее e-окрестность, все точки которой принадлежат этому множеству. Точка является внешней для некоторого множества, если существует некоторая ее окрестность, все точки которой не принадлежат этому множеству. Граничные точки обычно не являются ни внешними, ни внутренними.

Все точки пространства по отношению к данному множеству можно разделить на внутренние, внешние и граничные. Множество включает свои внутренние точки и не включает внешние. Граничные точки иногда принадлежат множеству, а иногда нет (например, для замкнутого шара принадлежат, а для открытого – нет).

Например, концы отрезка – его граничные точки, а все остальные точки отрезка – его внутренние точки. Любая точка, не лежащая на отрезке, является внешней по отношению к множеству точек отрезка.

Множество точек D n-мерного пространства называется выпуклым, если для любых двух точек X⁽¹⁾ и Х⁽²⁾, принадлежащих этому множетсву, отрезок, соединяющий эти точки, также, целиком принадлежит этому множеству, т.е. для любых X⁽¹⁾, Х⁽²⁾ Î D точка Х = aX⁽¹⁾ + (1 - a)Х⁽²⁾ Î D, где aÎ [0;1].

Например, круг или отрезок – выпуклые множества точек, а окружность – невыпуклое. На рисунке 5.2 изображены примеры фигур, множества точек которых относятся к выпуклым или невыпуклым множествам.

В определении выпуклого множества формула Х = aX⁽¹⁾ + (1 - a)Х⁽²⁾ (aÎ [0;1]) представляет собой формулу отрезка с концами X⁽¹⁾ и Х⁽²⁾, которая при значении параметра a = 0 приводит к получению конца Х⁽²⁾, а при значении параметра a = 1 приводит к получению конца Х⁽¹⁾. При любых других значениях aÎ[0;1] будет получена внутренняя точка отрезка, причем если a = ½, то будет получена его середина, если a = 1/3, то отрезок будет разбит этой точкой в пропорции 1:2, начиная от точки Х⁽²⁾ (т.е. будет отсчитана треть длины отрезка от этого конца) и т.д.

Например, возьмем точки X⁽¹⁾ = (1; 0) и Х⁽²⁾ = (3; 2). Формула отрезка между ними примет вид aX⁽¹⁾ + (1 - a)Х⁽²⁾ = a*(1; 0) + (1 - a)*(3; 2) = (a*1 + (1 - a)*3; a*0 + (1 - a)*2) = (a + 3 - 3a; 2 - 2a) = (3 - 2a; 2 - 2a), причем вместо a в этой формуле можно подставлять любое число на промежутке [0;1]. Чтобы получить середину отрезка, надо взять a = ½, в результате чего мы получим точку (3 – 2*0,5; 2 - 2*0,5a) = (2; 1). Если взять, например, значение a = 0,05, то получим точку (3 – 2*0,05; 2 - 2*0,05a) = (2,9; 1,9). Она отсчитает на отрезке 5/100 или 1/20 его длины от конца Х⁽²⁾, т.е. разобьет отрезок в пропорции 1:19. И т.д. Рассмотренные точки отображены на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1. Формула отрезка

Отметим, что один и тот же отрезок можно описать двумя разными формулами (можно поменять его концы местами, т.е. отсчитывать долю длины отрезка от другого конца).

Рисунок 5.2 – Выпуклые и невыпуклые множества