Формула Тейлора.

Наиболее простыми функциями в смысле вычисления их значений являются многочлены. Поэтому более сложные функции надо уметь представлять, хотя бы приближенно, некоторыми многочленами. Во многих случаях это можно сделать с помощью формулы Тейлора.

Пусть функция ¦(х) имеет все производные до (n +1) порядка включительно в некотором промежутке Х, содержащем т. x₀. Найдем многочлен у= Р_n(х) степени такой, что в т. x₀ значения многочлена и функции и всех производных до n-ой включительно – равны в т.x₀.

Р_n(х) = ¦(х₀), Р¹_n(х₀) = ¦¹(х₀), …, (1)

Будем искать этот многочлен в виде многочлена по степеням х-x₀:

Р_n(х) = а₀ + а₁(х-х₀) + а₂(х-х₀) + … + а_п (х-х₀)^п; (2)

Коэффициенты а₀, а₁, а₂, …, а_п – пока неопределенные. Определим эти коэффициенты, чтобы выполнялись условия (1). Производные многочлена имеют вид:

Р¹_n(х)= а₁ + 2а₂(х-х₀) + 3а₃ + … + nа_п (х-х₀) ^n-1;

(3) Р¹¹_n(х)= 2а₂ + 3·2а₃(х-х₀)+ …+ n (n –1)а_n (х-х₀)^п-2;

Р⁽ⁿ⁾_n(х)= n(n-1)…2 ·1а_п

Вычислим Р_n(х₀), Р¹_n(х₀)… Р⁽ⁿ⁾_n(х₀) и приравняем согласно

(1) их ¦(х₀), ¦¹(х₀),… ¦⁽ⁿ⁾(х₀) получим а₀= ¦(х₀), а₁= ¦¹(х₀), 2а₂= ¦¹¹(х₀), 3·2а₃= ¦¹¹¹(х₀),…, n (n –1)…2·1а_п= ¦⁽ⁿ⁾(х₀).

Отсюда имеем а0= ¦(х₀), а₁= ¦¹(х₀), а₂= ¦¹¹(х₀) = ¦¹¹(х₀);

1·2 2!

а₃= ¦¹¹¹(х₀) , … , а_п= ¦⁽ⁿ⁾(х₀) ; (4)

3! n!

Подставим найденные значения коэффициентов а_0, …, а_п в (2), получим

P_п(х)= ¦(х₀) + ¦¹(х₀) (х-х₀)+¦¹¹(х₀) +…+¦^(п)(х₀) (х-х₀)^п; (5)

1! 2! n!

По самому построению Р_n(х) , Р_n(х₀)= ¦(х₀). В точках же х х₀, вообще говоря, .

Обозначим через R_n(х) разность значений данной функции ¦(х) и многочлена Р_n(х):

R_n(х)= ¦(х) - Р_n(х)

y

0 x

Тогда ¦(х)= Р_n(х) + R_n(х) или в развернутом виде

¦(х)=¦(х₀)+¦¹(х₀)(х-х₀)+¦¹¹(х₀)(х-х₀)²+…+¦^п(х₀) (х-х₀)^п + R_n(х) (6)

1! 2! n!

Формула (6) и есть формула Тейлора для функции ¦(х), а R_n(х)- есть остаточный член формулы.

Она позволяет заменить вычисление значений функции вычислением значений многочлена Р_n(х). Отсюда задача: уметь оценивать величину остаточного члена R_n(х) при различных х. Для этого найдем удобную форму выражения остаточного члена.

Запишем R_n(х) в форме R_n(х)= Q(х) (х-х₀) ^п+1 (7), где

(n +1)!

Q(х) – некоторая функция, которую нужно найти.

Формула (6) перепишется

¦(х)= ¦(х₀) + (¦¹(х₀) /1! (х-х₀) + (¦¹¹(х₀) /2!(х-х₀)² +…+ (¦^(п)(х₀) / n!(х-х₀)^п + (Q(х) / (n +1)! (х-х₀) ^п+1. ( )

Возьмем произвольное значение х и зафиксируем его.

Тогда и Q(х) примет определенное значение, обозначим его Q. Рассмотрим вспомогательную функцию от t

(t [х₀, х], х>х₀, или t [ , ], < )

F(t) = ¦(х)- ¦( t)- ¦¹(t) (х- t)- ¦¹¹(t) (х- t)²-…- ¦^(п)(t) (х- t)^п -Q (х- t)^п+1

1! 2! n! (n +1)!

Покажем, что F(t) на [ ] удовлетворяет условиям теоремы Ролля.

1) F(t) непрерывна на [х₀, х];

2) Найдем производную (х, х₀, Q считаем фиксированными)

После всех преобразований получим

F¹(t) = ¦^(п+1)(t) (х- t)^п + Q (х- t)^п (8)

n! n!

Значит F¹(t) существует на (х₀, х).

3) Нетрудно видеть, что F (х₀)=0 ( вместо t подставить х₀), если учесть выражение (6¹/ для ¦(х). И, очевидно, F (х)=0 (вместо t подставить х). Но тогда к F(t) на [х₀, х] применима теорема Ролля и, значит, найдется точка х₀< с< х, что F¹(с)=0 или

- ¦^(п+1)(с) (х- с)^п + Q (х- с)^п =0

n! n!

Сокращаем на (х- с)^п и получим Q= ¦^(п+1)(с).

n!

Подставляя Q в формулу (7),

получаем R_n(х)= ¦^(п+1)(с) (х-х₀) ^п+1 (9)

(n +1)!

(9)- есть запись остаточного члена в форме Лагранжа. Т.к. х₀< с< х, то можно записать с= х₀ + Θ(х-х₀), 0< Θ < 1.

И поэтому R_n(х)= ¦^(п+1)( х₀ + Θ(х-х₀)) (х-х₀) ^п+1
(n +1)!

Как видим остаточный член формулы Тейлора (6) похож по виду на остальные члены, но существенное отличие в том, что производная вычисляется не в т.х₀, а в некоторой т.c.

Если в частном случае х₀=0, то формула Тейлора имеет вид

¦(х)= ¦(0) + ¦¹(0) + ¦¹¹(0) х² + …+ ¦^(п)(0) х^п + R_n(х) (10)

1! 2! n!

Остаточный член записывается в виде R_n(х)=¦^(п+1)(Θх) х ^п+1 (11)

(n +1)!

(10) с R_n(х) в форме (11) называется формулой Маклорена.