Вероятность гипотез. Формула Байеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий Н₁, Н₂, … , Н_n, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность события А определяется по формуле полной вероятности.

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Как изменились вероятности гипотез в связи с тем, что событие А уже наступило? Ответ на этот вопрос дает формула Байеса:

.

(2.13)

Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример 2.9. В условиях примера 2.8 оказалось, что взятая на контроль деталь оказалась нестандартной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом станке?

Решение. По условию необходимо переоценить вероятность гипотезы Н₁, т.е. найти ее условную вероятность Р(Н₁ |А) Ранее было получено: Р(Н₁) = 40/100, Р(А/Н₁) = 2/100, Р(А) = 0,031 = 310/10000. По формуле Байеса получаем:

= = = 0,258. ◄

3. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократных повторяющихся испытаний, проводимых при определенном комплексе условий. В этом случае интерес представляет вероятность числа m наступлений некоторого события А в n испытаниях. Например, необходимо определить вероятность определенного числа попаданий в мишень при нескольких выстрелах, вероятность некоторого числа бракованных изделий в данной партии и т.д.

Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же. Такая последовательность независимых испытаний получила название схемы Бернулли.

Формула Бернулли

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность P_n(m) того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна

,

(3.1)

где q = 1 – p.

Пример 3.1. Вероятность поражения мишени в отдельном выстреле равна p = 0,8. Найти вероятности возможного числа попаданий при 5 выстрелах.

Решение. По условию р = 0,8, q = 1 – 0,8 = 0,2. По формуле Бернулли находим:

= 0,00032; = 0,0064;

= 0,05120; = 0,2048;

= 0,4096; = 0,32768.

Полученные вероятности изобразим графически (рис. 3.1) точками с координатами (m; P_n(m)). Соединяя эти точки, получим многоугольник, или полигон, распределения вероятностей. ◄

Рассматривая многоугольник распределения вероятностей, мы видим, что есть такое значение m (m₀ = 4), которое обладает наибольшей вероятностью P_n(m).

Число m₀ наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события P_n(m₀) по крайней мере не меньше вероятностей других событий P_n(m) при любом m.

Наивероятнейшее число наступления события А находится из двойного неравенства

Отметим, что всегда существует целое число m₀, удовлетворяющее этому неравенству. При этом, если np + p – целое число, то наивероятнейших чисел два: m₀ = np + p и m₀ = np – q.

Пример 3.2. В примере 3.1 мы нашли наивероятнейшее число попаданий m₀=4, непосредственно вычисляя и сравнивая вероятности. Найдем наивероятнейшее число попаданий m₀, используя неравенство (3.2):

5·0,8 – 0,2 ≤ m₀ ≤ 5·0,8 + 0,8 → 3,8 ≤ m₀ ≤ 4,8 → m₀ = 4. ◄

Предположим, что мы хотим вычислить вероятность P_n(m) появления события А при большом числе испытаний n, например, P₅₀₀(200). По формуле Бернулли

.

Ясно, что в этом случае непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно, тем более, если учесть, что сами p и q – числа дробные. Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Существуют более простые приближенные формулы для вычисления при большом числе испытаний n. Такие формулы называют асимптотическими. Они определяются локальной теоремой Муавра-Лапласа, интегральной теоремой Лапласа, теоремой Пуассона.