Правило Лопиталя.

При нахождении пределов функции мы широко пользовались теоремами о пределах суммы, разности, произведения, частного и возможностью предельного перехода под знаком непрерывной функции.

Однако, когда под знаком предела оказывалось выражение, представляющее неопределенность вида 0/0, , , и т.п. теоремы о пределах уже были неприменимы и приходилось в каждом отдельном случае по-своему раскрывать эти неопределенности. Понятие производной дает очень удобное правило раскрытия неопределенностей, называемое правилом Лопиталя. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема Лопиталя.

Пусть функции ¦(х) и (х) при ( или ) одновременно стремятся к нулю или бесконечности. Если отношение их производных имеет предел, то отношение самих функций также имеет предел, равный пределу отношения производных, т.е.

limх_®х₀ ¦(х) = limх_®х₀ ¦¹(х) (1)

φ(x) φ¹(х)

Общее доказательство теоремы очень громоздко (опирается на теорему Коши).

Приведём лишь доказательство одного простого случая и рассмотрим часто встречающиеся случаи применения теоремы.

Докажем, что если и определены и непрерывны в окрестности ,при они стремятся к нулю и их производные в точке существуют, причём , то (2).

Доказательство: Т.к. (следует из условия теоремы), то . Переходя к пределу при и используя теорему о пределе дроби, получим: следует (2).

Примеры: 1). limх_®0 sin 5х = lim х_®0 (sin 5х)¹ = 5cos0 = 5

2х (2х)¹ 2 2

2). Lim х_®0 е^х – cos х = limx 0 е^х + sinх = 1 = 1

х 1 1

Возможно, что предел отношения производных равен ,

тогда и предел отношения функции тоже равен .

Может оказаться, что предел отношения производных снова есть неопределенность 0/0. Тогда применяем правило Лопиталя еще раз.

Замечание 1. Формула (1) написана при , но она верна и при , , .

Положим , тогда при , , можем применить формулу (1): , т.е (1*).

Аналогично при , .

Пример 6:

Замечание 2: Как видим при раскрытии неопределенностей правило Лопиталя приходится иногда применять несколько раз подряд, если после каждого снова получается неопределенность.

Если неопределенности нет, то правило применять нельзя, возможна ошибка.

Пример: lim х_®0 2х³ + 3х + 1 , сразу видно, что lim равен -1

х² + 4х – 1

по правилу Лопиталя нашли бы - Ошибка!

Замечание 3. Теорема Лопиталя дает лишь достаточное условие существование предела отношения функций. Если предел отношения производных не существует, то это еще не значит, что и предел отношения функций тоже не существует, просто, нужно раскрывать не по правилу Лопиталя, а другим способом.

Пример: lim х_® х+ sin х = lim х_® 1 + cos х = lim х_® ( 1+ cos х) – не

х 1

существует.

Однако, легко иначе

lim х_® х+ sin х = lim х_® ( 1 + sin х) = 1 + 0 = 1

х х

Правило Лопиталя применимо к раскрытию неопределенностей вида и . Легко показать, что все остальные к ним сводятся.

Покажем это.

0 · : Имеем ¦(х) · (х), причем при , , . Тогда поступают так

, т.е. приходим от к или и применяется правило Лопиталя.

: Имеем , причем, при , , . Тогда поступим так:

получаем неопределенность и можем применить правило Лопиталя.

Пример:

Кроме четырех неопределенностей , , , , имеются и три неопределенных выражения, получающихся из степенно-показательной функции:

Это , и

0⁰ – это неопределенное выражение вида [¦(х)] ^φ(x) при х х₀

если _, и . Соответственно понимаются и остальные два. Эти три неопределенности легко сводятся логарифмированием к неопределенности вида 0· , которая уже раскрывается по правилу Лопиталя.

Пример: , , .

Итак, или , т.е.

В заключение покажем, что показательная функция а^х растет быстрее, а логарифм loq_aх медленнее, чем степенная , при .