Дифференциал основных элементарных функций, суммы, произведения и частного.

Способ нахождения дифференциала сразу следует из определения: Чтобы найти дифференциал функции, достаточно вычислить производную этой функции и умножить её на дифференциал независимого переменного.

В связи с этим все формулы для производных легко преобразуются в формулы для дифференциала.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Легко для случая дифференциала доказываются и некоторые общие правила:

;

;

;

.

Доказательство всех аналогично.

Например(4):

(Остальные самостоятельно.)

§17. Дифференциал сложной функции. Инвариантность (неизменность) формы дифференциала функции.

Мы видели, что дифференциал функции может быть записан в виде: (1),

если есть независимая переменная. Пусть теперь есть сложная функ­ция от , т.е. , и поэтому . Если производные функций и существуют, то , как производная сложной функции. Дифференциал или . Но и поэтому можем записать , т.е. получили снова выражение для как и в (1).

Вывод: формула (1) верна как и в случае, когда есть независимая переменная, так и в случае, когда есть функция от независимой пере­менной . В первом случае под понимается дифференциал независимой переменной , во втором – дифференциал функции (при этом , вообще говоря). Это свойство сохранения формы (1) и называется инвариантностью формы дифференциала.

Инвариантность формы дифференциала даёт большие выгоды при вычислении дифференциалов сложных функций.

Например: нужно вычислить . Независимо от того, зависимая или независимая переменная , мы можем записать . Если - функция, например , то найдём и, пользуясь инвариантностью формы дифференциала, имеем право записать .