Дифференциал функции. Пусть функция определена в некотором промежутке и в некоторой внутренней точке имеет конечную производную

Пусть функция определена в некотором промежутке и в некоторой внутренней точке имеет конечную производную . Тогда , где -приращение аргумента в данной точке , а -соответствующее ему приращение функции. Можем записать: (1).

где -б.м.в, зависящая от , при . Оба слагаемых в правой части (1) являются величинами б.м., они при . Первое слагаемое является б.м. одного порядка малости с , т.к. - определённое число (полагаем ). Второе слагаемое – есть величина б.м. высшего порядка малости по сравнению с , т.к. , . Таким образом, приращение функции можно записать . Последняя запись отчётливо показывает, что величина приращения функции в основном зависит от первого слагаемого, оно, как бы, содержит в себе главную часть приращения функции, второе же содержит незначительную часть приращения функции. Поэтому . Ввиду особой роли произведения , для него введено специальное название – дифференциала функции и символическое обозначение .

Определение: Дифференциалом функции в некоторой точке называют произведение производной функции в этой точке на приращение аргумента. Если вычисляют в произвольной точке , то обозначают . Тогда -есть переменная величина от .

Замечание: Выделение дифференциала как главной части приращения функции вызвано ещё и тем, что дифференциал к тому же есть и линейная часть приращения функции отоносительно (т.е. содержит в первой степени), что очень удобно в приближённых вычислениях. При малых или или (2).

Например: вычислить Пользуемся формулой (2), считая . Тогда . Градусную меру переведём в радианную , . Имеем

,

Мы говорим о дифференциале функции . Выясним вопрос о дифференциале независимой переменной . Рассмотрим функцию . В этом случае дифференциал функции будет одновременно и дифференциалом независимой переменной . Но

и пэтому . Таким образом:

Дифференциалом независимой переменной можно считать её приращение: .

Поэтому для дифференциала функции применяется обычно запись: или (3)

Из (3) следует, что , т.е. производную функции можно рассматривать как частное от деления дифференциала функции на дифференциал аргумента, а не просто как единый символ производной , как считалось до сих пор.

Выясним геометрический смысл дифференциала функции.

Пусть задана функция . Начертим её график.

y₀

		x		x=0		x

На нём возьмём точку . Через точку проведём касательную . Как мы видим, её угловой коэффициент . Если абсциссе в точке дать приращение , то функция в точке получит приращение . Отметим на графике точку . Проведём секущую и рассмотрим .Видим, что , , .

Вывод: в то время как -есть приращение ординаты точки на кривой, -есть приращение ординаты точки на касательной к этой кривой в точке . Из чертежа наглядно видно – чем меньше , тем меньше отрезок , т.е. при малых , что уже отмечалось выше.