Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду

Общее уравнение второго порядка имеет вид

С помощью преобразования поворота

на угол и параллельного переноса общее уравнение может быть преобразовано к одному из следующих основных видов:

1) – эллипс;

2) – гипербола;

3) или – парабола;

4) – две пересекающиеся прямые;

5) или – две параллельные прямые.

Если координатные оси новой системы и направить по двум инвариантным направлениям (повернуть систему на угол ), соответствующим собственным числам и матрицы , то квадратичная форма из трех старших членов примет канонический вид . Группа членов первой степени преобразуется в подобную же группу

Свободный член не изменится.

Полученное уравнение упрощаем далее, производя параллельный перенос осей, в результате чего исчезают члены с первыми степенями координат. Получаем уравнение вида , которое и называется каноническим видом уравнения второго порядка. На сколько нужно параллельно переносить оси решается в каждом примере особо (хотя есть и общая теория).

Пример.

Привести к каноническому виду уравнение .

Решение.

. Уравнение собственных чисел ,

, .

Возьмем за первое инвариантное направление то, тангенс которого положителен, т.е. которое образует с осью острый угол. В данном случае . Направление составляет с осью угол , его берем за ось . Второе направление берем за так, чтобы оно было перпендикулярно первому и составляло правую систему с . Тогда .

, – острый угол, , .

Система повернута на угол , поэтому формулы преобразования будут

(*)

Поворот системы oxy на ,равносилен повороту радиуса-вектора на угол(- ),поэтому

Остальные члены данного уравнения преобразуются:

Исходное уравнение в системе запишется:

Выделим в нем полные квадраты по и :

или

Совершим теперь параллельный перенос системы по формулам Найдем координаты нового начала : , в последний системе координат . В системе координаты нового начала будут, очевидно: