Собственные числа и собственные векторы в случае симметрической матрицы

Пусть – матрица преобразования и пусть она симметрическая, т.е. , тогда .

Из уравнения (3') имеем

.

Так как у нас , то

Так как , , одновременно, то отсюда следует:

1) подкоренное выражение , т.е. симметрическая матрица имеет всегда вещественные собственные числа и .

2) Эти вещественные собственные числа различны, т.е. . Если бы , то и матрица , имели бы , т.е. имели бы преобразование подобия, что совсем необязательно (у нас произвольное линейное преобразование).

Теорема. Инвариантные направления симметричной матрицы взаимно перпендикулярны.

Доказательство.

Как уже отмечали – первое инвариантное направление, – второе инвариантное направление.

Из уравнения (3') по теореме Виета и учитывая, что , получаем , .

Тогда , , -ть направлений.

Примем инвариантные направления симметрической матрицы преобразования за новые оси координат, обозначив их и . соответствует собственному числу , соответствует собственному числу .

В старой системе координат , , .

В новой системе , , .

(1)

Найдем матрицу преобразования в новой системе координат.

Возьмем вектор , лежащий на оси . Он лежит на инвариантном направлении, соответствующем числу . Поэтому он перейдет в вектор .

Получаем

.

Подставляем в (1), получим , .

Возьмем вектор , лежащий на другом инвариантном направлении. Он перейдет в вектор .

Подставляя в (1), получим , .

Окончательно (1) перепишется в виде (2).

Вывод: Если инвариантные направления симметрической матрицы линейного преобразования принять за оси координат, то эта матрица приобретает диагональный вид .