КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. Порядок кривой.

Как мы знаем, уравнение любой кривой на плоскости ОХУ имеет вид F(x,y)=0. Если F(x,y) есть многочлен с двумя переменными, то уравнение имеет вид

A₁x^m1yⁿ¹+A₂x^m2yⁿ²+…+A_kx^mky^nk=0. (1)

Линия, определяемая таким уравнением, называется алгебраической линией. Степень (или порядок) многочлена в уравнении (1) называют порядком линии, которую оно определяет. Напомним, что порядком многочлена называют max {m_i+n_i}, т.е. наибольшую из степеней одночленов, составляющих многочлен.

Мы уже знаем, что существует только одна линия первого порядка на плоскости—прямая линия. Ее уравнение

Ax+By+C=0.

Самый общий вид уравнения линий второго порядка есть

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0. (2)

Линий второго порядка уже значительно больше. Самыми важными из них являются: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Изучим эти кривые более подробно.

2. Окружность.

Окружность—геометрическое место точек (ГМТ) плоскости, удаленных на одно и то же расстояние r от одной точки C.

Мы уже знаем, что уравнение любой окружности радиуса r с центром С(x₀,y₀) имеет вид(x-x₀)²+(y-y₀)²=r².

Отсюда видно, что окружность есть линия второго порядка. Раскрыв скобки, мы получим

x²+y²+2x₀x+2y₀y+(x₀²+y₀²-r²)=0 (3)

Это уравнение второго порядка. Сравнение (3) и (2) показывает особенности уравнения окружности:

1) коэффициенты при x² и y² равны (А=С);

2) член с произведением xy отсутствует (В=0).

Оказывается, что и, вообще, любое уравнение вида (2), где А=С и В=0, т.е.

Ax²+Ay²+2Dx+2Ey+F=0 (4) является уравнением окружности (или, вообще, ничего не определяет).

Уравнение (4) можно привести к стандартному уравнению окружности:

A(x²+2 x+ )+A(y²+2 )=

(выделим полные квадраты по переменным х и у),

или A(x+ )²+A(y+ )²=P.

Разделим почленно это равенство на А и обозначим Р/А=R²:

(x+ )²+(y+ )²=R². (5)

Это уравнение окружности с радиусом R и центром C( ).

Если <0, то уравнение (4), вообще, не задает никакую линию.

3.Определение и вывод канонического уравнения эллипса.

Эллипсом называют ГМТ плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

Будем обозначать расстояние между фокусами F1F2=2с, а сумму расстояний 2а, (а>с). Чтобы вывести уравнение эллипса, исходя из его определения, выберем систему координат наиболее удобным образом (чтобы уравнение его было наиболее простым).

Проведем ось ОХ через фокусы F1 и F2, а начало координат поместим в середине отрезка F1F2. Возьмем точку М (х,у)О эллипсу. Отрезки r₁=F1M и r₂=F2M называем фокальными радиусами точки М. Тогда F1M+F2M=2a. Координаты фокусов в этой системе, очевидно, будут F1 (-c;0), F2 (c;0). Тогда можем записать: --(1)—это и есть уравнение эллипса в выбранной системе координат. Упростим это уравнение. Уединим один радикал и возведем в квадрат равенство: или . Снова возведем в квадрат: или