Понятие ранга матрицы

Пусть дана прямоугольная матрица

Если в ней выбрать произвольно столбцов и строк ( ), то элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка . Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы .

Определение 1. Рангом матрицы называется максимальный порядок минора матрицы, отличного от нуля, т.е. имеет ранг , если

1) найдется хоть один минор в порядка , отличный от нуля;

2) все миноры порядка и выше равны 0. Символически обозначают . Минор порядка называется базисным минором матрицы. Матрица может иметь и несколько базисных миноров, но они все имеют одинаковый порядок .

Практически вычисляют миноры с первого порядка и выше по порядку. Если найден минор r-ого порядка неравный нулю, то оказывается достаточно вычислить лишь миноры порядка, содержащие его. Если они равны нулю все, то ранг матрицы равен . Если хоть один не равен нулю, то операцию применяют к нему.

Пример.

Есть миноры 1-ого и 2-ого порядков неравные нулю. А все третьего – равны нулю, так как содержат строку из нулей. Значит, .

Однако прямое вычисление миноров матрицы очень трудоемко. Поэтому матрицу предварительно преобразуют.

Определение 2. Под элементарным преобразованием матрицы понимают следующие операции:

1) умножение какой-либо строки (столбца) матрицы на число неравное нулю;

2) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

3) перестановка двух строк (двух столбцов) матрицы.

Справедлива теорема. При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется.

Эту теорему используют для практического вычисления ранга матрицы. Стараются сначала преобразовать матрицу так, чтобы в ней было побольше нулей, а затем уже определяют ранг.

Довольно часто при этом матрица приводится к виду