Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными.

(1)

Обозначим матрицу из коэффициентов, через матрицу-столбец свободных членов, через матрицу-столбец из неизвестных. Тогда система (1) кратко может быть записана в виде матричного уравнения . (2)

Пусть матрица неособенная, т.е. . Тогда существует обратная матрица .

Умножим обе части уравнения (2) слева на матрицу , получим

или (3),

что и дает решение системы (1).

Пример.

Решить систему уравнений:

Решение.

Запишем систему в матричной форме.

Определитель

Вычислим обратную матрицу : , отсюда .

Значит: , , .

Замечание. Нетрудно видеть, что матричная формула (3) может быть записана в виде формул , , ..., – Формулы Крамера. Здесь получается из заменой k-го столбца столбцом свободных членов .