Понятие об обратной матрице

Определение 1. Обратной матрицей по отношению к данной называется матрица, которая будучи умноженной справа (или слева) на данную матрицу, дает единичную матрицу.

Матрицу, обратную к матрице , обозначают . По определению .

Определение 2. Матрица называется неособенной, если: 1) она квадратная; 2) ее определитель отличен от нуля.

Справедлива теорема. Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу (без доказательства).

Практически, если дана неособенная матрица

, т.е. , то ,

где есть алгебраические дополнения (миноры со знаками) соответствующих элементов . Следует заметить, что при составлении матрицы алгебраические дополнения для элементов -ой строки матрицы записываются в -ом столбце матрицы (транспонируются).

Пример.

Для матрицы найти обратную .

Определитель , т.е. неособенная. .

Оказываются справедливы свойства:

1) Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы.

2) Обратная матрица произведения равна произведению обратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке.