Уравнения тепломассопереноса
Пусть мы имеем дело с каким-либо скалярным полем, например, полем температур: T = f (х, у, z, t),(7.13)
где х, у, z — координаты точки пространства; t - время.
Если температура Т меняется во времени, то температурное поле называют неустановившимся или нестационарным. В противном случае его называют стационарным или установившимся.
Рассмотрим в трехмерном пространстве две изотермические поверхности, все точки которых имеют температуры Т- для первой поверхности и Т + Т для второй. Так как в одной и той же точке пространства не может быть двух разных температур, то такие поверхности не пересекаются. Изменение температур в теле наблюдается лишь в направлениях, пересекающих изотермические поверхности. Наиболее резкое изменение температуры оказывается в направлении нормали nк изотермической поверхности. Вектор, длина которого равна пределу отношения изменения температуры Т к расстоянию n между изотермическими поверхностями по нормали, а направление совпадает с направлением нормали, называют температурным градиентом:
lim T/ n = dT/dn = \gradT\ ,K/м;(7.14)
Таким образом, grad T - вектор, направленный по нормали к поверхпости уровня в сторону возрастания Т и численно равный скорости изменения Т по направлению. Для скалярного поля Т (х, у, z) вектор вычисляют по формуле:
(7.15)
где i, j, k - единичные векторы, направленные по координатным осям х, у и z. Аналогичные рассуждения справедливы и для поля концентраций.
Теперь перейдем к рассмотрению основных законов тепломассо-передачи.
1. Передачу тепла в неподвижной среде описывают законом Фурье
q = - grad T , Вт/м2(7.16)
гдеq - тепловой поток (количество тепла, переданое через единицу поверхности за единицу времени); -коэффициент теплопроводности, Вт/(м.К).
2. Аналогом закона Фурье для переноса вещества - является закон Фика:
j = -D grad C , кг/(м2.с)(7.17)
где С - концентрация вещества; j - диффузионный поток; D - коэффициент диффузии, м2/с.
Эти законы применимы при соблюдении определенных условий:
1) законы относятся к молекулярному переносу в неподвижной среде;
2) закон Фурье в этой форме описывает перенос тепла в среде однородного химического состава;
3) закон Фика в рассматриваемой форме справедлив для изотермических процессов и диффузии, независимой от диффузии других компонентов.
Процессы диффузии и теплопроводности в неподвижной среде можно наблюдать лишь в твердых телах. В газах и жидкостях на эти процессы неизбежно оказывает влияние движение среды как целого - свободная и вынужденная конвекции. Если линейную скорость потока обозначить через w, то закон Фурье с учетом конвекции можно записать следующим образом:
q = - grad T + cp w T,Вт/м2 (7.18)
где cp -теплоемкость при постоянном давлении, Дж/(кг.К); - плотность, кг/м3; w - скорость, м/с.
Закон Фика примет следующий вид:
j = -D grad C + wC,кг/(м2.с) (7.19)
Рассмотренные законы можно записать и в виде дифференциальных уравнений. 3акон Фика записывают, как
(7.20)
где div- оператор дивергенции (если , то );
j’ - плотность источников вещества, т. е. количество вещества, образующегося вследствие химических реакций в единице объема в единицу времени.
При постоянном D можно записать
(7.21)
где - оператор Лапласа ( ).
Закон Фурье принимает следующий вид:
cp ,Вт/м2(7.22)
где q’ - плотность источников тепла, т. е. количество тепла, выделяющегося вследствие химических реакций в единице объема в единицу времени. Если считать постоянным, то: (7.23)
где - коэффициент температуропроводности, м2/ч.
При наличии конвекции в уравнения законов Фика и Фурье следует добавить соответственно w grad Cи w grad Т, где w - скорость потока.
В некоторых случаях дифференциальные уравнения диффузии и теплопередач при использовании соответствующйх граничных и начальных условий могут быть решены. Если речь идет о переносе тепла и вещества в условиях конвекции, то уравнения нужно решать совместно с уравнениями гидродинамики.
Процесс передачи тепла и вещества при конвективном движении, особенно когда движение носит турбулентный характер, не всегда поддается аналитическому расчету. Поэтому в таких случаях прибегают к эмпирическим законам.
Тепловой поток в виде выражения называемого законом Ньютона:
;Вт/м2,(7.24)
где — разность температур, К; -коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2.К).
Для расчета процесса переноса вещества пользуются выражением:
; кг/м2.c (7.25)
где j - диффузионный поток; - разность концентраций, кг/м3; - коэффициент массопередачи, м/с.
С точки зрения размерности величина соответствует не коэффициенту теплоотдачи а, а его отношению к теплоемкости единицы объема .
Существует вид передачи тепла независимо от окружающей среды - тепловым излучением. Теплообмен между двумя поверхностями, нагретыми до температур Т1 и Т2 согласно закону Стефана - Больцмана, равен
; Вт/м2, (7.26)
где - приведенная степень черноты системы; С0 - коэффициент лучеиспускания абсолютно черного тела, Вт/(м2.К4).
На практике передача тепла теплопроводностью, конвекцией и излучением часто происходит одновременно. В этом случае пользуются общим коэффициентом теплопередачи [17], записывая тепловой поток в виде
;Вт/м2, (7.27)
где - общий коэффициент теплоотдачи; - коэффициенты теплоотдачи соприкосновением и лучеиспусканием.
Иногда расчетное уравнение удобнее представить в форме, аналогичной той, которая применяется для расчета лучистого теплообмена:
; Вт/м2. (7.28)
Здесь конвективный теплообмен учитывают, увеличивая приведенную степень черноты на некоторую величину .
В модели включают уравнения, описывающие законы сохранения вещества и энергии, состояние среды и ее движение, равновесие, химическую реакцию, диффузию и др.
Контрольные вопросы:
1. Какими уравнениями можно описать металлургический процесс.
2. Вид уравнения мгновенного материального баланса.
3. Вид уравнения мгновенного теплового баланса.
4. Вид уравнения баланса импульса потока.
5. Сущность стационарного и нестационарного температурного поля, что называют температурным градиентом, тепловым потоком.
6. Для описания каких процессов используется закон Фурье и закон Фика.
7. Законы описания передачи тепла и вещества при конвективном движении.
8. Когда применяют закон Стефана—Больцмана.
Дата добавления: 2015-10-05; просмотров: 1832;