Теория размерностей.
Число критериев можно уменьшить, используя векторную теорию размерностей. Дополнительная размерность получается в результате введения векторных- величин длины Lx, Ly, Lz. Пусть ось z совпадает с направлением действия гравитационной силы. Тогда, очевидно [w] = Lz T-1 и [g] = Lz T-2
Для такой характеристики, как плотность, все оси являются равноправными, поэтому
[ ]=[ ] = Lx-1 Ly-1 Lz-1M(8.4)
Очевидно также, что диаметр шара, параллельный направлению движения не влияет на скорость движения. В силу этого размерность эффективного диаметра должна быть представлена не величиной Lz, а комбинацией Lx и Ly. При записи комбинации нужно учитывать, что система симметрична относительно оси z. Осевая симметрия требует равноправия размерностей Lx и Ly. Поэтому:
[d] = Lx1/2 и Ly1/2 ;(8.5)
Несколько более сложно обстоит дело с исключением асимметричности формулы размерности для вязкости. Вязкость - сила, действующая на единицу площади при единичном градиенте скорости. Поэтому один из видов формулы для вязкости таков:
[ x] = [( сила/площадь)/градиент скорости]= [(LzМТ-2)/(Ly Lz)]/(LzT-1)/Lx] = Lx Ly-1 Lz-1M T-1 (8.6)
Точно так же [ z] = Lx-1 Ly Lz-1M T-1
В связи с необходимостью обязательно учитывать осевую симметрию в формулах размерности следует использовать выражение
т.е =Lz-1M T-1(8.7)
Теперь уравнение размерности можно записать следующим образом:
Lz T-1= (Lx-1 Ly-1 Lz-1M)a (Lx1/2 Ly1/2)b (Lx-1 Ly-1 Lz-1M)c (Lz-1M T-1)e(Lz T-2)f(8.8)
Здесь пять неизвестных показателей соответствуют пяти первичным единицам намерения. Однако из-за условий осевой симметрии уравнения, которые соответствуют размерностям LxиLy , одинаковы. Остаются четыре уравнения, связывающие пять неизвестных. Решение этих уравнений дает
а = 1—с, b = 2, с = с, е = -1, f = 1.
Таким образом, мы получаем
(8.9)
Из механики известно, что
(8.10)
Тогда
(8.11)
Рассмотрим способы составления математической модели процесса, в которых используются критерии подобия. Иногда связь между критериями можно найти расчетным путем, решив соответствующую систему дифференциальных уравнений. Например, в рассмотренной выше задаче об охлаждении плиты решение отыскивается в виде функции
(8.12)
Функция Ф найдена и представлена в литературе в виде номограмм,.
Если решить систему не представляется возможным, то связь между критериями находят экспериментальным путем. Например, изучали скорость слива шлака из конвертора. Рассматривались величины: Gш - скорость слива шлака, м3/с; d - диаметр сливного отверстия (горловины), м; - соответственно удельный вес (Н/м3); кинематическая вязкость (м2/с) и поверхностное натяжение жидкости (шлака), Н/м; g - ускорение свободного падения, м/с2; р - гидростатический напор, равный * h , Па (h - геометрический напор, м); С* - безразмерная константа. Методами анализа размерностей найдено, что
(8.13)
В этом равенстве неизвестными являются Gш, С*, а, b и с. Для их определения авторы измеряли скорость слива четырех различных по свойствам жидкостей при соблюдении прочих равных условий.
Иногда математическая модель процесса в принципе известна из теоретических соображений. Однако для нахождения численных значений коэффициентов, входящих в эту модель, пользуются критериями подобия.
Контрольные вопросы:
1. Методы нахождения зависимости между критериями подобия.
2. Применение теории подобия и полученных зависимостей, для описания аналогичных систем.
3. Способы нахождения с помощью анализа размерностей числа и вида безразмерных комплексов, используемых для описания различных явлений.
4. Что дает применение векторой теории размерностей.
Дата добавления: 2015-10-05; просмотров: 1046;