БОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА

Электрон, двигаясь по круговой орбите радиусом r, обладает центростремительным ускорением a = u²/ r. Между электроном и ядром действует кулоновская сила притяжения F = e²/(4pe₀r²). По второму закону Ньютона запишется:

(5)

Здесь m и u — масса и скорость электрона; e — заряд электрона и ядра по абсолютной величине; e₀ — электрическая постоянная. Из второго постулата Бора u = nh/(2pmr). Подставляя это значение в выражение (4), находим, что

(6)

Отсюда следует, что электрон движется лишь по орбитам вполне определённого, а не любого радиуса. При n = 1 получаем радиус первой боровской орбиты

r₁= e₀h²/(pme²). (7)

Тогда радиусы остальных орбит определяются из соотношения

r = r₁n² . (8)

Формула (7) позволила оценить размеры атома водорода (~10^–10 м), который определяется радиусом вращения электрона.

Полная энергия W атома при движении электрона по орбите радиуса r складывается из кинетической энергии W_k электрона относительно ядра и потенциальной энергии W_p взаимодействия электрона с ядром, т.е. W = W_k + W_p. Уравнение (5) преобразуем к виду:

или W_k = - (1/2)W_p, (9)

поскольку W_p = ¾ потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов и mu²/2 = W_k ¾ кинетическая энергия электрона. Учитывая это и выражение (9), получаем, что W= (1/2)W_p = . Подставляя в эту формулу соотношение (6), находим:

(10)

где n может принимать только целые значения 1, 2, 3, ... . Величину n в квантовой физике называют главным квантовым числом.

На основе выше сказанного можно объяснить природу линейчатых спектров. Согласно третьему постулату Бора, энергия испущенного или поглощённого кванта с учётом (10) равна:

hn = W_n - W_i = (11)

Отсюда частота кванта

(12)

Сравнивая это выражение с соотношением (4), видим, что теоретическим путём была получена формула Бальмера. Постоянная Ридберга вычисленная по формуле и найденная экспериментально совпадают.

Таким образом, теория Бора позволила вычислить энергию атома водорода, его размеры и объяснить происхождение линейчатых спектров. Слабой стороной теории Бора была внутренняя логическая противоречивость: с одной стороны, она использовала классическую теорию (закон Ньютона), с другой ¾ новые квантовые представления (постулаты Бора). После открытия волновых свойств вещества стало совершенно ясно, что теория Бора явилась только переходным этапом на пути создания новой последовательной теории атомных явлений ¾ квантовой механики.