Определение числа и видов критериев подобия.

Рассмотрим способы нахождения с помощью анализа размерно­стей числа и вида безразмерных комплексов, используемых для описания различных явлений. Процесс исследования начинают с выбора независимых перемен­ных, оказывающих воздействие на систему. Здесь необходимо рас­сматривать также размерные коэффициенты и физические кон­станты, если они играют важную роль в изучаемом процессе. Это наиболее важный этап всего исследования. После выбора пере­менных выбирают систему основных размерностей, через которую можно выразить единицы измерения всех рассматриваемых пере­менных.

Следующим этапом является подсчет числа названных выше безразмерных комплексов с помощью П-теоремы Букингема. Пусть число рассматриваемых переменных равно N. Пусть все они измерены в каких-то единицах. Эти единицы могут быть первичными (основа различных систем измерения - м, с, кг и т. п.) и вторичными (произведе­ния первичных, взятых в различных степенях- м.с-1, м.с-2 и т. п.). Пусть число первичных единиц равно r. Согласно П-теореме число безразмерных величин равно (N - r) или меньше его.

Среди рассматриваемых переменных могут оказаться пара­метры одной и той же физической природы (линейные размеры, плотности и др.). Предположим, что n- число параметров разной физической природы среди изучаемых переменных. Тогда, кроме критериев-комплексов, вводятся в рассмотрение критерии-сим­плексы, и П-теорема формулируется следующим образом: число безразмерных критериев, определяющих рассматри­ваемое явление, К = N – r.

Из них число критериев-комплексов равно k = n-r, а число критериев-симплексов равно s = N-n.

Пример: М. П. Собакин и Я. Д. Вербицкий [56, с. 180-189] изучали барботаж газов через двухфазную ванну и при этом рассматривали следующие переменные и параметры: Н - среднюю глубину барботируемой ванны, м; Lм - глубину спокойной металлической ванны, м; d- диаметр ванны, м; w - средний расход газа, отнесенный к площади зеркала спокойной ванны, м/с; - соответственно удельный вес (Н/м3), кинети­ческую вязкость (м2/с) металла и поверхност­ное натяжение (Н/м) на границе газ-металл; - те же величины для шлака и для границы газ-шлак; g- ускорение свободного падения, м/с2; p - гидростатическое давление жидкости (шлака и металла) на дно ванны, Па.

Здесь число N размерных параметров равно 12. Из них n = 7 - число параметров разной физической природы. Эти параметры образованы первичными размерностями r = 3. В соответствии с П-теоремой общее число критериев должно быть равно:

К = N – r =12 – 3 = 9; (8.1)

в том числе критериев-комплексов k = n-r = 7 – 3 = 4 и критериев-симплексов s = N - n = 12 - 7 = 5.

В качестве переменных можно выбирать необязательно те переменные, которые кладутся в основу различ­ных систем измерения. Например, в качестве таких переменных можно из рассматриваемой совокупности выбирать те, которые не образуют безразмерные комбинации.

Ван Дрист предло­жил модифицированную П- теорему, учитывающую такие случаи. Его метод формулируется следующим образом: «Число безразмер­ных комбинаций полной системы равно общему числу переменных минус максимальное число этих переменных, не образующих без­размерной комбинации». Однако во многих случаях это «макси­мальное число» не просто определить.

Из П-теоремы ясно, что иногда, применяя аппарат теории раз­мерностей, можно с точностью до константы установить вид зави­симости между рассматриваемыми переменными. Очевидно, должно выполняться равенство

N - r = 1(8.2)

Для нахождения вида комплексов (критериев подобия) наибольшее распространение получили следую­щие способы:

· использование принципа однородности размерностей;

· метод последовательного исключения размерностей (метод Ипсена);

· применение П-теоремы;

· использование системы дифференциальных уравнений.

Эти способы рассмотрены подробно в литературе [1 с. 89-99]. Для экспериментатора является естественным стремление свести исходный набор переменных к минимальному числу безразмерных комплексов. Здесь иногда может оказаться очень полезной векторная теория размерностей. Сущность метода, основанного на этой теории, заключается в сле­дующем. Обычно три линейных размера по трем взаимо перпендику­лярным осям имеют одну единицу измерения. Однако в реальных физических задачах геометрические размеры исследуемой системы неравнозначны. Исходя из этого, в векторной теории размерностей вводят три различные единицы измерения, соответствующие вы­соте, длине и ширине тела. Таким образом, число первичных еди­ниц измерения увеличивается на две единицы, а количество кри­териев в соответствии с П-теоремой настолько же сокращается. Число первичных единиц можно также увеличить, введя дополни­тельно положительное и отрицательное значения длины.

Рассмотрим задачу Стокса о падении шара малых размеров под действием силы тяжести в вязкой среде. Пред­полагается, что падение такого шара не вызывает турбулентности. Размерности величин, фигурирующих в задаче, в системе LMT (анализ размерностей) записывают следующим образом: w- скорость шара, LT-1; - плотность шара, L-3М; d - диаметр шара, L; - плотность среды, L-3М; - вязкость среды, L-1МТ-1; g - ускорение свободного падения, LT-2.

Здесь имеются шесть переменных и три первичных размерно­сти. Следовательно, функция должна зависеть от трех критериев.

f (w, , d, , , g) = 0(8.3)








Дата добавления: 2015-10-05; просмотров: 1103;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.