Дифференциальные уравнения. 9 Дифференциальные уравнения

Часть 3

Оглавление

9 Дифференциальные уравнения. 4

9.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения. 4

9.2 Свойства общего решения. 5

9.3 Дифференциальные уравнения первого порядка. 6

9.4 Уравнения с разделяющимися переменными. 7

9.5 Однородные уравнения. 11

9.6 Уравнения, приводящиеся к однородным.. 12

9.7 Линейные уравнения. 14

9.8 Уравнение Бернулли. 18

9.9 Уравнения в полных дифференциалах (тотальные) 19

9.10 Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’) 22

9.11 Уравнения Лагранжа и Клеро. 22

9.12 Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка 31

9.13 Численные методы решения дифференциальных уравнений. 31

9.14 Дифференциальные уравнения высших порядков. 36

9.15 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. 40

9.16 Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами 40

9.17 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 42

9.18 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. 45

9.19 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 48

9.20 Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. 51

9.21 Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 52

9.22 Элементы теории устойчивости. 55

9.23 Классификация точек покоя. 58

10 Уравнения математической физики. 60

10.1 Уравнения в частных производных. 60

10.2 Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка 60

10.3 Классификация основных типов уравнений математической физики. 61

10.4 Уравнение колебаний струны.. 61

10.5 Решение задачи Коши методом разделения переменных. 63

10.6 Решение задачи Коши методом Даламбера. 64

10.7 Уравнение теплопроводности. 65

10.8 Уравнение Лапласа. 66

11 Ряды.. 68

11.1 Основные определения. 68

11.2 Свойства рядов. 68

11.3 Критерий Коши (необходимые и достаточные условия сходимости ряда) 69

11.4 Ряды с неотрицательными членами. 70

11.5 Признак Даламбера. 71

11.6 Признак Коши (радикальный признак) 72

11.7 Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды.. 73

11.8 Свойства абсолютно сходящихся рядов. 74

11.9 Функциональные последовательности. 75

11.10 Функциональные ряды.. 76

11.11 Свойства равномерно сходящихся рядов. 77

11.12 Степенные ряды.. 78

11.13 Теоремы Абеля. 78

11.14 Действия со степенными рядами. 79

11.15 Разложение функций в степенные ряды.. 80

11.16 Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. 83

11.17 Ряды Фурье. 84

11.18 Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. 86

11.19 Ряд Фурье для четных и нечетных функций. 87

11.20 Ряды Фурье для функций любого периода. 89

11.21 Ряд Фурье по ортогональной системе функций. 89

11.22 Интеграл Фурье. 90

11.23 Преобразование Фурье. 91

11.24 Элементы теории функций комплексного переменного. 92

11.25 Cвойства функций комплексного переменного. 92

11.26 Основные трансцендентные функции. 93

11.27 Производная функций комплексного переменного. 95

11.28 Условия Коши-Римана. 95

11.29 Интегральная формула Коши. 97

11.30 Ряды Тейлора и Лорана. 97

11.31 Теорема о вычетах. 99

12 Операционное исчисление. 101

12.1 Преобразование Лапласа. 101

12.2 Свойства изображений. 101

12.3 Таблица изображений некоторых функций. 102

12.4 Теоремы свертки и запаздывания. 103

12.5 Криволинейные интегралы.. 108

12.6 Свойства криволинейного интеграла первого рода. 109

12.7 Криволинейные интегралы второго рода. 110

12.8 Свойства криволинейного интеграла второго рода. 111

12.9 Формула Остроградского–Грина. 112

12.10 Поверхностные интегралы первого рода. 114

12.11 Свойства поверхностного интеграла первого рода. 115

12.12 Поверхностные интегралы второго рода. 115

12.13 Связь поверхностных интегралов первого и второго рода. 117

12.14 Формула Гаусса–Остроградского. 117

12.15 Элементы теории поля. 118

12.16 Формула Стокса. 120

Дифференциальные уравнения