Декартово произведение множеств.

Рассмотрим некоторые дополнительные термины, характерные для операций над множествами.

Вектор – это упорядоченный набор элементов, другой синоним этого термина – “кортеж”.

Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами вектора. Координаты нумеруются слева направо. Число координат называется длинной или размерностью вектора. Вектор будем заключать в круглые скобки, например (0, 5, 4, 5) иногда скобки и даже запятые опускаются.

Векторы длинны 2 часто называются упорядоченными парами.

Прямым (декартовым) произведением множеств А и В (обозначают А х В) называется множество всех пар (а, в), таких что аÎА и вÎВ. В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат А. Такое произведение обозначается А². Аналогично прямым произведением множеств А₁, ….,А_n (обозначение А₁ х ….х А_n) называется множество всех векторов (а₁, …,а_n) длины n, таких, что а₁ÎА₁….а_nÎА_n .А х А х…х А обозначается Аⁿ.

Пример 1. Множество R x R=R² – это множество точек плоскости, точнее пар (а, в), где а, вÎR и являются координатами точек плоскости.

Пример 2. А={а, в, c, d, e, f, g, h}, B={1, 2,….,8}тогда А х В ={a₁, a₂, a₃, …,h₇, h₈} – множество, содержащие обозначения всех 64 клеток шахматной доски.

Пример 3. Рассмотрим множество числовых матриц 3 х 4, т. е. матриц вида

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₄

а₂₁ а₂₂ а₂₃ а₂₄

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₄ ,

где а_ij принадлежит множеству R действительных чисел. Строки матрицы – это элементы множества R⁴ (векторы длинны 4). Сама матрица, рассматриваемая как упорядоченный набор ( т. е. вектор ) строк – это элемент множества (R⁴)³=R⁴ x R⁴ x R⁴. Компоненты матрицы, заданной таким образом – строки, а не числа. Поэтому (R⁴)³¹R¹². Содержательный смысл этого неравенства в том что в векторе R¹² не содержится никакой информации о строении матрицы, тот же вектор мог бы перечислять элементы 4 х 3 или 2 х 6, которые как математические объекты не совпадают с матрицами 3 х 4.