Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу (2.1). Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядкаматрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Любой минор порядка r называется базисным. Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются

базисными строками и базисными столбцами.

Сформулируем основную теорему о базисном миноре, но для этого нам потребуются следующие определения:

Вектор-столбец (строка) называется линейной комбинациейвектор-столбцов (строк) векторного пространства с коэффициентами , если он равен сумме произведений этих векторов на эти коэффициенты: ;.

Система вектор-столбцов (строк) называется линейно зависимой, если найдутся такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство ; в противном случае данная система вектор-столбцов (строк) называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все

Теорема 1.3 (о базисном миноре).Базисные строки(столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (столбцов)

Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение

0 £ r(A) £ min (m, n).

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров (перебора миноров и выбора из них ненулевого минора наибольшего порядка), либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к виду

,

в котором элементы отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже, равны нулю. Матрицу такого вида называют ступенчатой. После приведения матрицы к ступенчатому виду можно сразу записать, что .

В самом деле, (т.к. элементарные преобразования не меняют ранга). Но у матрицы существует отличный от нуля минор порядка :

,

а любой минор порядка содержит нулевую строку и поэтому равен нулю.

Сформулируем теперь практическое правило вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований: для нахождения ранга матрицы следует с помощью элементарных преобразований привести ее к ступенчатому виду . Тогда ранг матрицы будет равен числу ненулевых строк в полученной матрице .

Пример 1.17. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы и написать один из базисных миноров.

Решение.Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М₁ = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M₂ = , отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М₂. Их всего два (можно
добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их: = 0. Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум, а базисным минором будет, например M₂ = .

Пример 1.18. Найти ранг матрицы А= и привести ее к ступенчатому виду.

Решение.Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки: ~ . Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5 ~: ; из третьей строки вычтем первую; получим матрицу В = , которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Базисным минором является минор .