Свойства определителей. 1. Определитель не меняется при транспонировании.

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a_{i j} = b_j + c_j (j= ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом - из элементов c_j.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

МиноромM_ij элемента a_ij определителя n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя называется его минор M_ij, взятый со знаком (-1) ^{i + j}. Алгебраическое дополнение элемента a_ij будем обозначать A_ij. Таким образом, A_ij = (-1) ^{i + j} M_ij.

На практике определители удобно находить, используятеорему оразложенииопределителя по строке или столбцу:

Теорема 1.1(разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель матрицы A=( равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение определителя по элементам i-й строки

= a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} +... + a_{i n} A_{i n} (i = )

или j- го столбца

= a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} +... + a_{n j} A_{n j} (j = ).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

В дальнейшем i -ую строку определителя или матрицы будем обозначать S_i, а j-ый столбец - С_j.

Пример 1.10. Для данного определителя :

1) найти миноры и алгебраические дополнения элементов a₁₂ и a₃₂.

2) Вычислить определитель : а) разложив его по элементам 1-ой строки; б) разложив его по элементам 2-го столбца; в) получив предварительно нули в 1-ой строке.

=

Решение. 1). Находим миноры к элементам a₁₂ и a₃₂ по правилу треугольников:

M₁₂ = = -8-16+6+12+4-16=-18,

M₃₂ = =-12+12=12-8=-20.

Алгебраические дополнения элементов a₁₂ и a₃₂ соответственно равны:

A₁₂ =(-1)¹⁺² M₁₂ –(-18)=18,

A₃₂ =(-1)³⁺² M₃₂ –(-20)=20,

2) а). Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:

= a_{1 1} A_11j + a₁₂ A₁₂ + a₁₃ A₁₃ + a₁₄ A₁₄ =-3 - 2 + 1 - +0 -= -3(8 + 2 + 4 – 4) - -2(-8 – 16 + 6 + 12 +4 + 16) + (16 – 12 – 4 + 32) = 38.

б) Вычислим определитель, разложив его по элементам второго столбца:

= a_{2 1} A₂₁ + a₂₂ A₂₂ + a₂₃ A₂₃ + a₂₄ A₂₄ =-2 - 2 +

+0 +1 = -2(-8 + 6 - 16 +12 +4 - 16) – 2(12+ 6 – 6 – 16) + (-6 + 16 - - 12 – 4)=38.

в) Вычислим определитель , получив предварительно нули в первой строке. Используем свойство определителей: определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же произвольное число. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому (3C₃⁺C₁).Полученный столбец запишем вместо первого. Затем третий столбец умножим на (-2) и прибавим ко второму (-2C₃⁺C₂.), и полученный столбец запишем вместо второго. Тогда в первой строке все элементы, кроме одного, будут нулями. Разложим полученный таким образом определитель по элементам первой строки и вычислим его:

= = = = 1* .= = = = -(-56+18)=38

Пример 1.11.Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю.

Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель , равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.

Пример 1.12.Вычислить определитель D = а) разложив его по элементам второго столбца, б) по правилу треугольников.